文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt（30）-算法导论5.2 3题

三、利用指示器随机变量来计算掷n 个骰子之和的期望值。

文心一言：

为了计算掷n个骰子之和的期望值，我们需要先了解一个重要的概念：指示器随机变量。

指示器随机变量是一种特殊的随机变量，它只有两个取值：0和1。通常用I来表示指示器随机变量，它的取值为1表示事件发生，取值为0表示事件未发生。在掷骰子的例子中，我们可以将指示器随机变量定义为：

I(i)=^ X_i$，其中 $X_i$ 相互独立且都服从于离散型均匀分布 $U(1,6)$，即 $P(X_i = k) = \frac$，其中 $k \in $。

因为指示器随机变量只有两个可能取值，因此我们可以考虑将每一个 $X_i$ 表示为一个指示器随机变量 $Y_i$，其中当 $X_i = k$ 时 $Y_i = 1$，当 $X_i \neq k$ 时 $Y_i = 0$。因此，每个 $X_i$ 可以写作 $X_i = \sum_^ k Y_i(k)$，其中 $Y_i(k)$ 表示在第 $i$ 次掷骰子时第 $i$ 个骰子点数是否为 $k$。

考虑到每个骰子的点数 $X_i$ 都可以表示为指示器随机变量 $Y_i$ 的线性组合，因此我们可以利用线性性质和期望的定义来计算 $S_n$ 的期望值 $\mathrm(S_n)$：

$$ \begin \mathrm(S_n) &= \mathrm\left[\sum_^ X_i\right] \ &= \mathrm\left[\sum_^ \left(\sum_^ k Y_i(k)\right)\right] \ &= \sum_^ k \mathrm\left[\sum_^ Y_i(k)\right] \ &= \sum_^ k \mathrm(Y_1(k)) \quad (\textrmY_i(k)\textrm{ 相互独立})\ &= \sum_^ k P(X_1 = k) \ &= \sum_^ k \frac \ &= \fracn \end $$

因此，掷 $n$ 个骰子的总点数的期望值为 $\dfracn$。

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