梯度下降算法以及与线性回归模型的结合

梯度下降算法在机器学习领域是非常重要的一个解决问题的方法，目的就是基于历史数据，拟合出一个理想的模型。

一、梯度下降算法阐述

1.1 梯度下降阐述

梯度下降算法是对损失函数(cost function)进行求导，最后目标是获得使损失函数的导数最小或者相对最小的参数值。

具体分析，损失函数 J(θ0,θ1)，图形化表示损失函数如图：

梯度下降算法的目的就是将(θ0,θ1)对应的 J(θ0,θ1)从较高的地方，逐步改变到低谷的 J(θ0,θ1)值，也就是让 J(θ0,θ1)尽可能的小，可以理解成从山上下山，逐渐下到较低或最低的山底。

梯度下降算法如下：

（其中alpha>0, j=0,1）

举个例子：

例如损失函数如图所示，alpha>0，如果初始值在A1点，A1点的斜率是正数，那么θ1会往左移动，往更加接近最低点的位置移动。

如果初始值处于B1点，斜率为负数，那么θ1会往右移动，也是往更加接近最低点的位置移动。

1.2 alpha的作用

alpha表示学习速率，直观的表现是影响梯度下降过程中的步长。alpha越大，学习速率越大，收敛越快，alpha越小，学习速率越小，收敛越慢。

另外，alpha的值如果过于小，会是学习速率过于慢，影响效率，另外，很容易得出局部最优解的结果。alpha的值过大也会引发另一个问题，导致梯度下降的过程中错过最优解，而导致发散不收敛。

1.3 alpha大小的影响

1.4 收敛速率

即使不调节alpha的值，随着梯度下降过程中越来越接近最优点或局部最优点，由于斜率在接近最优点的过程中是逐渐降低的，收敛速率也是逐步降低的。

例如，A1的斜率大于A2的斜率，B1的斜率大于B2的斜率。

1.5 局部最优解

当cost function如下图所示的时候，很容易求出的θ值是局部最优解。局部最优解的表现是导师为0，达到局部最优解的位置之后，无论怎么进行梯度下降，由于其导数为0，都不会改变θ值。

1.6 θ参数同时更新

有一点需要说明，所有θ的更新需要同步进行，不能单独进行，下面对θ的更新进行了比较，一定要谨记。

二、线性回归模型的梯度下降

2.1 总体阐述

左侧是梯度下降算法，右侧是线性回归模型以及相应的cost function

2.2 梯度下降的算法求解

以下就是梯度下降算法的求解过程，一般对微积分和求导有所了解的话，还是比较简单的。

2.3 线性函数的cost function（凸函数）

线性回归的cost function是凸函数，所谓的凸函数简单点理解就是一个弓形函数，在梯度下降的时候，只会求出最优解。

2.4 线性回归模型的梯度下降过程

三、总结

以上就是针对梯度下降算法，以及结合线性回归模型的梯度下降的算法解释。