什么是古典概率模型呢?
古典概率模型,简称古典概型,也叫传统概率、古典概率。
古典概率定义最早由法国数学家拉普拉斯提出。
如果随机试验所包含的单位事件(样本点)是有限的,且每个单位事件发生的可能性都相等,那么这个试验就叫做拉普拉斯试验,这种条件下的概率模型就叫古典概率。
要深刻理解上述定义,除了谨记有限、等可能两个基本特点以外,还应该清楚基本事件的定义。
举个简单的例子。
在投掷一枚均匀骰子的一次试验中,六个点数出现的可能性都是相同的,并且总共只有6种可能。
这很显然就是一个古典概率。
出现其中某一个点数,比如一点,就是其中一个基本事件,我们记作A?;
出现的是两点,也是一个基本事件,记作A?;
以此类推,出现三点就是A? ...
那么所有总共6个基本事件就构成了样本空间ω。
即 ω ={A?,A?,A?,A?,A?,A?}
这里值得一提的是,所谓互斥事件,就是一次试验中不可能同时发生的两个事件。
在传统赌博中,有一种赌大小的博彩游戏。
骰宝,俗称赌大小。
每次下注前,庄家先把三颗骰子放在有盖的器皿中摇晃。当所有闲家都下注完毕,庄家就打开器皿并派彩。
一般的,闲家可以选择买大或者买小。
所谓大,指的是三个点数之和在11至17之间。
所谓小,指的是三个点数之和在4至10之间。
如果骰子的旋转结果是三个同号,那么无论你买大,还是买小都算输。
那么我们接下来,算一算你买大时的赢率。
首先,我们假设赌场的骰子是正常均匀的骰子,每个点数出现的概率都相同。
那么三个骰子总共有6×6×6=216个基本事件。
像上面的树状图都得画出六幅来。
虽然三个骰子都长得一样,我们凭肉眼分辨不出(1,2,3)与(1,3,2)的区别。但我们明显能感觉到它们之间的不同。
其中买大赢的点数和可以是11至17的任意一个数。
比如,和为11时,可以是
(1,4,6),(1,5,5),(1,6,4),
(2,3,6),(2,4,5),(2,5,4),
(2,6,3),(3,2,6),(3,3,5),
(3,4,4),(3,5,3),(3,6,2),
(4,1,6),(4,2,5),(4,3,4),
(4,4,3),(4,5,2),(4,6,1),
(5,1,5),(5,2,4),(5,3,3),
(5,4,2),(5,5,1),(6,1,4),
(6,2,3),(6,3,2),(6,4,1),
共计27种。
和为12时,有12=1+5+6,计6种
12=2+5+5=2+4+6,计9种
12=3+3+6=3+4+5,计9种
共计24种。
和为13时,共计3+6+3+6+3=21种
和为14时,共计3+6+3+3=15种
和为15时,共计3+6=9种
和为16时,共计3+3=6种
和为17时,共计3种
所以下注一次赢的概率为:
(27+24+21+15+9+6+3)÷216=0.4861111111
同样的道理,买小赢的概率也是0.4861111111。
我们当然不是真正的赌徒,所以还是以另外一个经典的性别概率问题结束今天的文章。
在开始之前,我们先假定每个孩子是男孩还是女孩的概率一样,都是0.5。
问题:一个家庭中有且仅有两个孩子,已知其中一个是男孩,那么另一个孩子也是男孩的概率是多少?
有的朋友可能简单的认为,既然生男生女都一样,那么另一个孩子是男孩的概率当然就是0.5。
有的朋友认为,总共有(男,女),(男,男),(女,女)三种情形,其中一个是男孩,那么就只剩下(男,女),(男,男)两种情况,那么两个男孩的概率当然是0.5。
这两种理解,当然都是不正确的。
在所述的试验中,样本空间中的样本点,不是3个,而是4个。
兄妹与姐弟,很显然和兄弟、姐妹一样是两个不同的基本事件。
所以第二种理解是一种误读。
因为至少有一个男孩,所以满足条件的基本事件有兄妹,兄弟,姐弟三种。
那么一个是男孩,另一个也是男孩就只能是兄弟,三个里面占一个,当然它的概率就是1/3。
第一种理解的失误之处,就是没有看到这是一个条件概率。
我们记“其中一个孩子是男孩”为事件A,
“两个孩子都是男孩”为事件B。
那么,四个样本点中只有(女,女)这一个不满足条件,
故P(A)=3/4
而两个都是男孩只是4个样本点中的1个,
故P(B)=P(AB)=1/4
所以P(B丨A)=P(AB)/P(A)=1/3。
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