线性表（一）

本节主要介绍线性表的类型定义、线性表的顺序表示和实现、线性表的链式表示和实现。线性表的链式表示和实现主要讲述线性链表、循环链表和双向链表。

一、线性表的逻辑结构

线性表(Linear List)：由n(n≧)个数据元素(结点)a1，a2， …，an组成的有限序列。其中数据元素的个数n定义为表的长度。当n=0时称为空表，常常将非空的线性表(n>0)记作： (a1，a2，…an)

这里的数据元素ai(1≦i≦n)只是一个抽象的符号，其具体含义在不同的情况下可以不同。

例1、26个英文字母组成的字母表

（A，B，C，…，Z）

例2、某校从1978年到1983年各种型号的计算机拥有量的变化情况。

（6，17，28，50，92，188）

从以上例子可看出线性表的逻辑特征是：

在非空的线性表，有且仅有一个开始结点a1，它没有直接前趋，而仅有一个直接后继a2；

有且仅有一个终端结点an，它没有直接后继，而仅有一个直接前趋a n-1；

其余的内部结点ai(2≦i≦n-1)都有且仅有一个直接前趋a i-1和一个直接后继a i+1。

线性表是一种典型的线性结构。数据的运算是定义在逻辑结构上的，而运算的具体实现则是在存储结构上进行的。

二、线性表的顺序存储结构

1.线性表

把线性表的结点按逻辑顺序依次存放在一组地址连续的存储单元里。用这种方法存储的线性表简称顺序表。

假设线性表的每个元素需占用i个存储单元，并以所占的第一个单元的存储地址作为数据元素的存储位置。则线性表中第i+1个数据元素的存储位置LOC( a i+1)和第i个数据元素的存储位置LOC(a i )之间满足下列关系：LOC(a i+1)=LOC(a i)+i线性表的第i个数据元素ai的存储位置为：LOC(ai)=LOC(a1)+(i-1)*1

由于C语言中的一维数组也是采用顺序存储表示，故可以用数组类型来描述顺序表。而python的list虽然可以采用数组一样的引用操作，不过底层实现却是接下来要讲述的链表结构实现的。

2.顺序表上实现的基本操作

在顺序表存储结构中，很容易实现线性表的一些操作，如线性表的构造、第i个元素的访问。

以下主要讨论线性表的插入和删除两种运算。

2.1、插入

线性表的插入运算是指在表的i(1≦i≦n+1个位置上，插入一个新结点x，使长度为n的线性表 (a1，…a i-1，ai，…，an)变成长度为n+1的线性表(a1，…a i-1，x，ai，…，an)

现在分析算法的复杂度：

这里的问题规模是表的长度，设它的值为。该算法的时间主要花费在循环的结点后移语句上，该语句的执行次数（即移动结点的次数）是。由此可看出，所需移动结点的次数不仅依赖于表的长度，而且还与插入位置有关。

当时，由于循环变量的终值大于初值，结点后移语句将不进行；这是最好情况，其时间复杂度O（1）；当=1时，结点后移语句将循环执行n次，需移动表中所有结点，这是最坏情况，其时间复杂度为O（n）。

由于插入可能在表中任何位置上进行，因此需分析算法的平均复杂度：

在长度为n的线性表中第i个位置上插入一个结点，令Eis(n)表示移动结点的期望值（即移动的平均次数），则在第i个位置上插入一个结点的移动次数为n-i+1。故 Eis(n)=pi(n-i+1)

不失一般性，假设在表中任何位置(1≦i≦n+1)上插入结点的机会是均等的，则p1=p2=p3=…=p n+1=1/(n+1)

因此，在等概率插入的情况下， Eis(n)=(n-i+1)/(n+1)=n/2

也就是说，在顺序表上做插入运算，平均要移动表上一半结点。当表长n较大时，算法的效率相当低。虽然Eis(n)中n的的系数较小，但就数量级而言，它仍然是线性阶的。因此算法的平均时间复杂度为O(n)。

2.2、删除

线性表的删除运算是指将表的第i(1≦i≦n)结点删除，使长度为n的线性表： (a1，…ai-1，ai，a i+1…，an)变成长度为n-1的线性表(a1，…a i-1，a i+1…，an)

该算法的时间分析与插入算法相似，结点的移动次数也是由表长n和位置i决定。

若i=n，则由于循环变量的初值大于终值，前移语句将不执行，无需移动结点；

若i=1，则前移语句将循环执行n-1次，需移动表中除开始结点外的所有结点。这两种情况下算法的时间复杂度分别为O(1)和O(n)。

删除算法的平均性能分析与插入算法相似。在长度为n的线性表中删除一个结点，令Ede(n)表示所需移动结点的平均次数，删除表中第i个结点的移动次数为n-i，故Ede(n)=pi(n-i)

式中，pi表示删除表中第i个结点的概率。在等概率的假设下， p1=p2=p3=…=pn=1/n

由此可得：Ede(n)= (n-i)/n=(n-1)/2即在顺序表上做删除运算，平均要移动表中约一半的结点，平均时间复杂度也是O(n)。

三、线性表的链式表示和实现

线性表的顺序表示的特点是用物理位置上的邻接关系来表示结点间的逻辑关系，这一特点使我们可以随机存取表中的任一结点，但它也使得插入和删除操作会移动大量的结点.为避免大量结点的移动，我们介绍线性表的另一种存储方式，链式存储结构，简称为链表(Linked List)。

1.线性链表

链表是指用一组任意的存储单元来依次存放线性表的结点，这组存储单元即可以是连续的，也可以是不连续的，甚至是零散分布在内存中的任意位置上的。因此，链表中结点的逻辑次序和物理次序不一定相同。为了能正确表示结点间的逻辑关系，在存储每个结点值的同时，还必须存储指示其后继结点的地址（或位置）信息，这个信息称为指针(pointer)或链(link)。这两部分组成了链表中的结点结构：

list-1.png

其中：data域是数据域，用来存放结点的值。next是指针域（亦称链域），用来存放结点的直接后继的地址（或位置）。链表正是通过每个结点的链域将线性表的n个结点按其逻辑次序链接在一起的。由于上述链表的每一个结只有一个链域，故将这种链表称为单链表（Single Linked)。

显然，单链表中每个结点的存储地址是存放在其前趋结点next域中，而开始结点无前趋，故应设头指针head指向开始结点。同时，由于终端结点无后继，故终端结点的指针域为空，即null（图示中也可用^表示)。

注：python中用None表示null，但是为了表述方便，还是采用null，下面的皆同。

1.1.建立单链表

# Definition for singly-linked list.class ListNode(object): def __init__(self, x): self.val = x self.next = None

假设线性表中结点的数据类型是字符，我们逐个输入这些字符型的结点，并以换行符‘\n’为输入结束标记。动态地建立单链表的常用方法有如下两种：

头插法建表该方法从一个空表开始，重复读入数据，生成新结点，将读入数据存放到新结点的数据域中，然后将新结点插入到当前链表的表头上，直到读入结束标志为止。

尾插法建表头插法建立链表虽然算法简单，但生成的链表中结点的次序和输入的顺序相反。若希望二者次序一致，可采用尾插法建表。该方法是将新结点插入到当前链表的表尾上，为此必须增加一个尾指针r，使其始终指向当前链表的尾结点。

说明：第一个生成的结点是开始结点，将开始结点插入到空表中，是在当前链表的第一个位置上插入，该位置上的插入操作和链表中其它位置上的插入操作处理是不一样的，原因是开始结点的位置是存放在头指针（指针变量）中，而其余结点的位置是在其前趋结点的指针域中。算法中的第一个if语句就是用来对第一个位置上的插入操作做特殊处理。算法中的第二个if语句的作用是为了分别处理空表和非空表两种不同的情况，若读入的第一个字符就是结束标志符，则链表head是空表，尾指针r亦为空，结点r不存在；否则链表head非空，最后一个尾结点r是终端结点，应将其指针域置空。

如果我们在链表的开始结点之前附加一个结点，并称它为头结点，那么会带来以下两个优点：

由于开始结点的位置被存放在头结点的指针域中，所以在链表的第一个位置上的操作就和在表的其它位置上的操作一致，无需进行特殊处理；

无论链表是否为空，其头指针是指向头结点 在的非空指针（空表中头结点的指针域为空），因此空表和非空表的处理也就统一了。

1.2 查找运算

按序号查找

在链表中，即使知道被访问结点的序号i，也不能象顺序表中那样直接按序号i访问结点，而只能从链表的头指针出发，顺链域next逐个结点往下搜索，直到搜索到第i个结点为止。因此，链表不是随机存取结构。

设单链表的长度为n，要查找表中第i个结点，仅当1≦i≦n时，i的值是合法的。但有时需要找头结点的位置，故我们将头结点看做是第0 个结点。

按值查找

按值查找是在链表中，查找是否有结点值等于给定值key的结点，若有的话，则返回首次找到的其值为key的结点的存储位置；否则返回NULL。查找过程从开始结点出发，顺着链表逐个将结点的值和给定值key作比较。

该算法的执行时间亦与输入实例中的的取值key有关，其平均时间复杂度的分析类似于按序号查找，也为O(n)。

1.3 插入运算

插入运算是将值为x的新结点插入到表的第i个结点的位置上，即插入到ai-1与ai之间。因此，我们必须首先找到ai-1的存储位置p，然后生成一个数据域为x的新结点p，并令结点p的指针域指向新结点，新结点的指针域指向结点ai。从而实现三个结点ai-1，x和ai之间的逻辑关系的变化。

设链表的长度为n，合法的插入位置是1≦i≦n+1。注意 ：

当i=1时，getnode找到的是头结点，

当i=n+1时，getnode找到的是结点an。因此，用i-1做实参调用getnode时可完成插入位置的合法性检查。算法的时间主要耗费在查找操作getnode上，故时间复杂度亦为O(n)。

1.4删除运算

删除运算是将表的第i个结点删去。因为在单链表中结点ai的存储地址是在其直接前趋结点a i-1的指针域next中，所以我们必须首先找到a i-1的存储位置p。然后令p–>next指向ai的直接后继结点，即把ai从链上摘下。最后释放结点ai的空间，将其归还给“存储池”。

设单链表的长度为n，则删去第i个结点仅当1≦i≦n时是合法的。注意，当i=n+1时，虽然被删结点不存在，但其前趋结点却存在，它是终端结点。因此被删结点的直接前趋p存在并不意味着被删结点就一定存在，仅当p存在（即p!=NULL）且p不是终端结点 （即p.next!=NULL）时，才能确定被删结点存在。显然此算法的时间复杂度也是O(n)。

从上面的讨论可以看出，链表上实现插入和删除运算，无须移动结点，仅需修改指针。

2.循环链表

循环链表时一种头尾相接的链表。其特点是无须增加存储量，仅对表的链接方式稍作改变，即可使得表处理更加方便灵活。

单循环链表：在单链表中，将终端结点的指针域NULL改为指向表头结点的或开始结点，就得到了单链形式的循环链表，并简单称为单循环链表。

为了使空表和非空表的处理一致，循环链表中也可设置一个头结点。这样，空循环链表仅有一个自成循环的头结点表示。如下图所示：

在用头指针表示的单链表中，找开始结点a1的时间是O(1)，然而要找到终端结点an，则需从头指针开始遍历整个链表，其时间是O(n)。

在很多实际问题中，表的操作常常是在表的首尾位置上进行，此时头指针表示的单循环链表就显得不够方便.如果改用尾指针rear来表示单循环链表，则查找开始结点a1和终端结点an都很方便，它们的存储位置分别是(rear.next).next和rear，显然，查找时间都是O(1)。因此，实际中多采用尾指针表示单循环链表。

由于循环链表中没有NULL指针，故涉及遍历操作时，其终止条件就不再像非循环链表那样判断p或p.next是否为空，而是判断它们是否等于某一指定指针，如头指什或尾指针等。

3.双链表

双向链表(Double linked list):在单链表的每个结点里再增加一个指向其直接前趋的指针域prior。这样就形成的链表中有两个方向不同的链，故称为双向链表。形式描述为：

# Definition for double-linked list.class ListNode(object): def __init__(self, x): self.val = x self.prior = None self.next = None

和单链表类似，双链表一般也是由头指针唯一确定的，增加头指针也能使双链表上的某些运算变得方便，将头结点和尾结点链接起来也能构成循环链表，并称之为双向链表。

设指针p指向某一结点，则双向链表结构的对称性可用下式描述：

p.prior.next=p=p.next.prior

即结点p的存储位置既存放在其前趋结点(p.prior)的直接后继指针域中，也存放 在它的后继结点p.next的直接前趋指针域中。

双向链表的前插操作算法如下：

def dinsertbefor(p，x): q=ListNode(x) q.data=x q.prior=p.prior q.next=p p.prior.next=q p.prior=q def ddeletenode(p): p.prior.next=p.next p.next.prior=p.prior

注意：与单链表的插入和删除操作不同的是，在双链表中插入和删除必须同时修改两个方向上的指针。上述两个算是法的时间复杂度均为O(1)。