具有极限权的Carleman估计的初等推导

李增煜，吕琦

我们给出了一个二阶椭圆型偏微分算子的逐点恒等式，并以此为基础，推导出应用于反问题中的几种具有极限权的Carleman估计。

Carleman估计是一种加权的能量估计方法，自20世纪30年代提出以来，已成为研究唯一延拓性、反问题与控制问题等领域的重要工具。导出Carleman估计通常要求权函数满足Hörmander伪凸（pseudoconvex）条件 [3]。

Kenig、Sjöstrand和Uhlmann [6] 在研究三维Calderón问题时，放宽了伪凸性条件，引入了“极限权”（limiting weight）的概念，并由此建立了一类较弱的Carleman估计，推动了该问题的新进展。随后，Imanuvilov、Uhlmann和Yamamoto [4] 在二维情形下推导了极限权Carleman估计，并应用于二维Calderón问题的研究。此外，这类Carleman估计的若干变体也被广泛应用于其他Calderón类问题的研究中，如文献 [2]、[5]、[7] 所示。然而，上述推导过程通常涉及拟微分算子等较为深刻的数学工具，并对微分算子系数的正则性提出了较高要求。同时，二维与三维欧氏空间中的推导方法存在显著差异。

在发表于《中国科学：数学（英文版）》（Science China Mathematics）的文章中，我们提出了一种初等且统一的方法，用于推导具有极限权的Carleman估计。具体而言，我们首先建立了一个关于二阶椭圆型偏微分算子的基本逐点恒等式。与现有理论 [1] 相比，我们的工作有以下两点改进：一是在一般Riemann流形上建立该恒等式；二是对二阶导数项进行了进一步分解，使其适用于二维情形的推导。基于该逐点恒等式，我们分别证明了二维及高维情形下具有极限权的Carleman估计。在建立逐点恒等式的过程中，我们假设Riemann流形具有C^3光滑性，边界为C^2光滑；而在实际应用于Calderón问题时，可相应降低对空间和边界的光滑性要求。

【参考文献】

[1]  Fu X Y, Lü Q, Zhang X. Carleman Estimates for Second Order Partial Differential Operators and Applications, A Unified Approach. Cham: Springer, 2019

[2]  Guillarmou C, Tzou L. Calderón inverse problem with partial data on Riemann surfaces. Duke Math J, 2011, 158: 83–120

[3]  Hörmander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators IV. Fourier Integral Operators. Berlin: Springer, 1985

[4]  Imanuvilov O, Uhlmann G, Yamamoto M. The Calderón problem with partial data in two dimensions. J Amer Math Soc, 2010, 23: 655–691

[5]  Kenig C E, Salo M. The Calderón problem with partial data on manifolds and applications. Anal PDE, 2013, 6: 2003–2048

[6]  Kenig C E, Sjöstrand J, Uhlmann G. The Calderón problem with partial data. Ann of Math (2), 2007, 165: 567–591

[7]  Krupchyk K, Uhlmann G. The Calderón problem with partial data for conductivities with 3/2 derivatives. Comm Math Phys, 2016, 348: 185–219

作者简介

李增煜

四川大学数学学院博士研究生，研究方向为数学控制理论，导师为吕琦教授。

吕琦

四川大学数学学院教授，研究方向为数学控制理论。