轻科普：图像处理中的加减乘除

很久没写点稍有深度的内容了，今天就来简单写写图像处理算法中的基本代数加乘概念吧，数字图像可以等效视为矩阵，在空间域的大多数操作都是按矩阵理论来执行的，无论是多张照片，还是单张照片，都可以用矩阵加乘来实现简单但有效的图像处理，按加减乘除来一个个看吧。

注：为了让话题不那么复杂，所以简略了一些前提解读，有疑问的可在评论区提出。

首先是图像相加，最有意义的应用就是针对带噪图像的多帧叠加平均降噪，令g(x,y)为理想无噪声图像f(x,y)被噪声n(x,y)污染后的图像，也即：

对于读取噪声来说，每一对坐标的噪声是不相关的（对于固定模式噪声等，可以用相关双采样等方式来解决，而与设计相关的暗电流、非均匀性响应等就需要通过改进工艺来解决了），这时候图像g ̅ (x,y)是K张不同噪声图像进行平均而形成：

且其期望值为f(x,y)，g ̅与n在所有坐标上的方差满足：

那么，在均值图像上，任意一点的均方差就是：

可以看到随着K增大，每个像素坐标的变化将不断减小，所以带噪图片数量增加意味着它在求均值的过程中，不断接近理想的无噪声图像，当然，前提是像素间必须配准。不过在实际应用中K值并不是越大越好，它的变化曲线如下：

横坐标为K值（即拍摄张数），纵坐标为目标值，很明显，在取值较高时的变化会大幅放缓。所以对于天文应用来说，50张左右的堆栈就已经有非常好的效果，可以看看下图单张与32张的差距：

因为相加是连续积分（也就是长曝）的离散形式，所以对于天文摄影来说，一组带噪图像的均值与一张冷冻长曝的效果是类似的。对于日常拍摄来说想要通过叠加降噪，在机身稳定的情况下使用RAW连拍即可，张数视具体情况而定，快和稳是最关键的，然后再到后期软件里进行叠加均值操作即可，这方面教程非常多，就不赘述了。

然后是图像相减，它的主要意义是增强图像间的差别，在医学造影方面有着非常重要的作用，比如数字减影血管造影：先拍摄一张血管造影做模板f(x,y)，再注射介质拍摄活体图像h(x,y)，两者相减后就得到了血管结构的造影g(x,y)：

再通过增强对比度的方式，就能获得非常清晰、不受其他组织影响的血管造影。单幅图像也能应用，只需把最低有效位元置零生成模板，再用原图减去模板，也能得到类似的效果：

对于机器视觉来说，图像相减也广泛应用于目标识别当中，而天文摄影中也需要拍摄暗场、暗平场便于后期处理时减法降噪，应用面还是很广泛的。

最后是乘除关系，它的主要用途是校正阴影，传感器给出的图像g(x,y)从光影角度来看可以是完美图像f(x,y)和阴影函数s(x,y)的乘积：

情况A：如果阴影函数已知，利用反函数g(x,y)/h(x,y)即可得到f(x,y)。

情况B：大多数时候阴影函数都是未知的，如果这时候图像系统可以访问，就能通过对具有恒定灰度的目标成像，模拟一个近似的阴影函数。如果图像系统不能访问，就只能直接从g(x,y)里估计阴影函数，准确度就要视具体情况而定了。

除此之外，机器视觉里的兴趣区域操作也可以通过图像相乘而来，将兴趣区域以设置为模板图像后，与给定的图像相乘，模板区域为1，其他为0，就能得到给定图像中模板区域的独立成像，兴趣区域可以不止一个，也可以是任意形状。

代数运算是图像处理的基础之一，简单了解这些基础知识会对拍摄和后期处理提供一些原理上的辅助，便于理解，融会贯通。以后有时间，大家有兴趣的话再做其他的基础讨论，这种文章就不写太长了，权当看个热闹吧各位。