五分钟了解这几个numpy的重要函数

前言

数据挖掘的理论背后，几乎离不开线性代数的计算，如矩阵乘法、矩阵分解、行列式求解等。本文将基于numpy模块实现常规线性代数的求解问题，需要注意的是，有一些线性代数的运算并不是直接调用numpy模块，而是调用numpy的子模块linalg（线性代数的缩写）。该子模块涵盖了线性代数所需的很多功能，本文将挑几个重要的例子加以说明。

函数清单

为使读者有一个全局的概念，下面罗列一些linalg子模块中有关线性代数的重要函数，以便读者快速查阅和灵活使用：

案例讲解

接下来，我们基于上表中的函数，分享几个重要的例子，相信在不久的将来，当你研究数据挖掘的算法理论时，可能会用到。

矩阵乘法

一维数组的点积：

32

两个二维数组：

[[ 0 1 2]

[ 3 4 5]

[ 6 7 8]

[ 9 10 11]]

[[101 102 103 104]

[105 106 107 108]

[109 110 111 112]]

二维数组的乘法：

[[ 323 326 329 332]

[1268 1280 1292 1304]

[2213 2234 2255 2276]

[3158 3188 3218 3248]]

点积函数dot，使用在两个一维数组中，实际上是计算两个向量的乘积，返回一个标量；使用在两个二维数组中，即矩阵的乘法，矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，否则会报错。

diag函数的使用

4×4的矩阵：

[[ 0 1 2 3]

[ 4 5 6 7]

[ 8 9 10 11]

[12 13 14 15]]

取出矩阵的主对角线元素：

[ 0 5 10 15]

由一维数组构造的方阵：

[[ 5 0 0]

[ 0 15 0]

[ 0 0 25]]

如上结果所示，如果给diag函数传入的是二维数组，则返回由主对角元素构成的一维数组；如果向diag函数传入一个一维数组，则返回方阵，且方阵的主对角线就是一维数组的值，方阵的非主对角元素均为0。

特征根与特征向量

我们知道，假设A为n阶方阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx（x≠0），则称λ为A的特征根，x为特征根λ对应的特征向量。如果需要计算方阵的特征根和特征向量，可以使用子模块linalg中的eig函数：

计算3×3方阵的特征根和特征向量：

[[1 2 5]

[3 6 8]

[4 7 9]]

如上结果所示，特征根和特征向量的结果存储在元组中，元组的第一个元素就是特征根，每个特征根对应的特征向量存储在元组的第二个元素中。

多元线性回归模型的解

多元线性回归模型一般用来预测连续的因变量，如根据天气状况预测游客数量、根据网站的活动页面预测支付转化率、根据城市人口的收入、教育水平、寿命等预测犯罪率等。该模型可以写成Y=Xβ+ε，其中Y为因变量，X为自变量，ε为误差项。要想根据已知的X来预测Y的话，必须得知道偏回归系数β的值，对于熟悉多元线性回归模型的读者来说，一定知道偏回归系数的求解方程，即。

如上所示，X数组中，第一列全都是1，代表了这是线性回归模型中的截距项，剩下的三列代表自变量。根据β的求解公式，得到模型的偏回归系数。从而可以将多元线性回归模型表示为。

多元一次方程组的求解

在中学的时候就学过有关多元一次方程组的知识，例如《九章算术》中有一题是这样描述的：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实秉各几何？解答这个问题就需要应用三元一次方程组，该方程组可以表示为：

在线性代数中，这个方程组就可以表示成AX=b，A代表等号左边数字构成的矩阵，X代表三个未知数，b代表等号右边数字构成的向量。如需求解未知数X，可以直接使用linalg 子模块中的solve函数，具体代码如下：

三元一次方程组的解：

[ 9.25 4.25 2.75]

如上结果所示，得到方程组x，y，z的解分别是9.25，4.25和2.75。

范数的计算

范数常常用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小，它具有三方面的约束条件，分别是非负性、齐次性和三角不等性。最常用的范数就是p范数，其公式可以表示成。关于范数的计算，可以使用linalg 子模块中的norm函数，举例如下：

如上结果所示，向量的无穷范数是指从向量中挑选出绝对值最大的元素。

结语

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