第四课反向传播算法与神经网络

Stanford深度学习课程第四课反向传播算法与神经网络（全）

预备知识

我们不直接介绍课程内容，首先介绍一些预备知识，这样可以更好的理解课程内容。下面我们介绍导数的基本概念及一些常用函数的导数。有些人大概在高中就学过导数，但是有些人没有学过，但是不管怎么样，大家在中学阶段的时候一定学过直线方程！那么不知道大家还记得不记得斜率，下面我们看一个例子，有一个函数方程为y=2x+4，其函数图像如下：

这里的斜率k=2，这里的斜率就是上面直线在直线上每一点的导数。导数其实也可以理解为在某一点上函数值的变化情况（包括变化快慢及变化方向）。

对于任意一个函数f(x)，其在x0处的导数可以定义为：

下面不加证明的列出一些常用函数的导数形式及相关公式：

然后还有比较重要的链式法则，若有一个函数：

那么可以得到：

在简单介绍这部分知识后，我们来到反向传播算法。

反向传播算法

对于任意一个运算，我们可以通过构建计算图，然后利用链式法则前向求导，从而求出每一个变量的梯度。举个例子,假如有函数：

且

根据运算法则，我们首先要计算x+y，再计算乘法，所以可以令：

根据上述运算顺序画出如下计算图

首先前向计算得到：

下面我们看看反向梯度是如何计算的，我们需要计算的是：

根据函数式及求导公式，我们首先可以得出以下结论：

所以最终求得梯度为：

有了梯度之后就可以使用梯度下降法对参数进行更新了。

稍微复杂的一个例子

上面介绍了及其简单的一个例子，下面是稍微复杂的例子，也是在实际中会经常用到的例子：逻辑回归的梯度求解。需要求解梯度的函数如下：

然后我们将上述函数画成计算图（原课程中的图截图过来后不是很清晰，故重画了），通过换元将上面复杂的式子写成简单的式子（特别方便求导的式子）：

根据上面过程画出来图形如下：

给定一组已知的输入，比如：

下面根据链式法则来求

的梯度，实际应用中只会对系数求梯度，输入变量是固定的。

通过上面的式子我们可以得到：

则我们可以得到如下列的反向计算结果：

上图中的结果就是给前面的公式中带入具体的值计算出来的。一旦计算得到各个变量的梯度值之后，就可以执行梯度下降，从而对损失函数进行优化。

阶段小结

由上面的推导，对于上面示例中的函数，其反向传播梯度可以通过如下公式进行求解。

门

标题特意用得较为简单，在上面的计算图计算前向和反向传播时，计算图很小，分成了很多部分。在实际中，我们不可能每次都将问题分成这么多部分，在不同的前向反向函数中，很多函数是一样的。这一些类似的计算图可以组成门。比如说如果一个多层的神经网络每一层都使用sigmoid激活函数，那么在计算反向梯度时，就会多次按照如下图中红框中部分进行计算。所以可以综合的称呼这些为“sigmoid门” （sigmoid gate）。

上面图片中的公式也就是sigmoid gate反向传播的的梯度公式，下面介绍一些常用门。

下面是课程ppt中的一个例子，如下图所示，分别描述了add gate（加门，红色虚线框），max gate（最大门，绿色虚线框）和multiple gate（乘门，蓝色虚线框）。

图中有一些数字，绿色数字代表前向传播数值，红色数字代表反向传播梯度。

Add gate的作用是将梯度分发给两个其他分支，在上图中，梯度2.00分发给了两个分支，所以两个分支的梯度都是2.00。简单说明一下add gate的分发原理，假如有函数：

并且我们已知某个目标函数对y的梯度，那么y的梯度可以直接分发给x1和x2，

Max gate的作用是取两个分支中较大的数值，在上图中，下面绿色虚线框代表一个max gate的过程。在梯度反向传播过程中，对于两个分支中较大的值，该分支梯度等于当前梯度，而对于两个分支中较小的值，该分支的梯度等于0。

Multiple gate的作用是将两个数值相乘，如上图中蓝色虚线框所示。其分支的梯度为当前梯度乘上另外一个分支的数值，比如说：

上面为常用的一些“门”，add gate可以理解为一个分发门，max gate可以理解为一个路由门，multiple gate可以理解为一个转换门。

反向传播向量化表示

前面说的都是单个数据点的反向梯度求解，下面说对于向量或者矩阵来说梯度求解情况：首先假设需要计算的函数为：

为简便起见，我们设定W为大小为2x2的矩阵，而x为大小为2x1的向量：

然后根据函数计算过程设定中间变量，并且画出计算图。

然后我们通过实例来理解其前向运算及反向梯度传播，例如设定W和x的值分别为：

所以根据矩阵乘法计算可得到q的值为：

然后计算f的函数值为：

下面是反向梯度传播：

所以对于梯度求导来说，有

下面继续说刚才的实例：下图为刚才说的例子中的前向传播与反向梯度传播的过程，我们一起来计算一下反向梯度传播的过程（红色数字部分）

首先是函数f对自身的梯度为1，这个比较简单。然后是函数f对q的梯度：

然后是f对W的梯度：

这样就可以较为顺畅的进行反向传播算法了。

神经网络

我们在上面的例子中使用的是

这是一个线性函数，可以看成一层的神经网络，若是这里设定以ReLU做激活函数。我们可以通过叠加多个单单层网络构建两层甚至多层网络，比如：

神经网络中的激活函数

神经网络中在神经元上会加上激活函数，激活函数可以引入非线性特征。常用的激活函数有Sigmoid，ReLU激活函数等。

上图中是很多的常用激活函数，包括函数的方程及其图像。比较早期的就是Sigmoid和tanh激活函数，从上面图像上我们可以看到，在输入值较大或者较小时，梯度很小，在多层网络中容易导致梯度消失，从而无法对多层网络进行很好的训练。所以就有了ReLU激活函数，ReLU激活函数在大于0的区域导数都为1，保证了梯度不会消失，且梯度计算速度极快。但是ReLU激活函数舍弃了小于的部分，会有信息丢失，然后就有了Leaky ReLU对于小于0的部分取梯度都为0.1，即保证了不丢弃小于0部分的信息，又保证了大于0部分的优势信息。但是Leaky ReLU在0点处导数不存在，所以在此基础上又提出了ELU激活函数。

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