“傅里叶变换”与“信号与系统”

不管是在高数还是在复变函数中，我想许多的小伙伴或多或少都知道两大变换，那就是傅里叶变换和拉普拉斯变换，其实，学过信号与系统的人都知道，这两大变换在信号与系统中起着举足轻重的作用，在这里根据现有知识向小伙伴们介绍一下傅里叶变换在信号与系统这门专业课中的应用。

当然，提出这个理论的数学家就是傅里叶。他在1807年提出来了一个观点，那就是“一个周期信号可以用正弦级数的形式去表示”。可以看到，在傅里叶提出的观点当中，他针对的是一个具有周期的信号，其实，在我们的生活当中有许多的非周期信号那么，我们就试想，如果一个信号不是周期的，它是否也有对应的傅里叶级数呢，这个问题在1829年狄利克雷给出了答案，那就是对于非周期信号在满足一定的条件之下也有对应的傅里叶级数，我们称这个条件为狄利克雷条件，由此产生了傅里叶变换。虽然狄利克雷指出了非周期信号也可以用傅里叶级数去表示，但是在相当长的一段时间内这个结论并没有用于实际，其原因就是它的计算量十分的巨大，由于当时计算机的条件和对应的硬件不能满足这样的需求，所以并未实践，直到二十世纪六十年代（1960S），名为库利和图基的两个人发现了快速傅里叶变换，使得傅里叶变换能够用一些快速的方法去解决，当快速算法实现之后，使得它的运算速度大大的提高，从而在实际的工程当中就有了非常广泛的运用。以上就是关于傅里叶变换发展的历程。

傅里叶

接下来介绍一下周期信号和非周期信号的傅里叶变换。

下图就是对于周期信号所对应的傅里叶变换公式。在这里面，我们将w1称为基波，也就是最基本的那个波形，然后呢，它的整数倍n称之为它的n次谐波，当然我们在信号与系统当中常用的并不是这个公式，而是这个公式所对应的欧拉公式。

那么，对于非周期信号是否也可以用上面的式子去表示呢，显然，这是可以的，我们说对于非周期信号在满足狄利克雷的条件下，它就可以用傅里叶级数表示，那么，所谓的狄利克雷条件是什么呢？其实，该条件简单的说就是:对于一个非周期信号在定义域内绝对可积。只要满足这个条件就可以将非周期信号表示为以上形式。

狄利克雷条件

在信号与系统当中，信号有时域和频域分析，有时为了更清楚直观的观察某个信号的特点，往往需要将信号的时域分析转变成频域分析，而傅里叶变换就是将时域当中的信号转变成频域当中的信号，我们将信号由时域转变成频域称之为傅里叶正变换，信号由频域转变成时域称之为傅里叶逆变换。

其实，傅里叶变换不仅仅运用在信号与系统当中，在生活当中的其它领域依然有着广泛的应用，比如经济领域，控制领域，密码学，具体的比如图像或者图片的处理，声音的抽样处理等等。

左图为雾天拍的照片，右图为经傅里叶变换后还原后的照片

有兴趣的小伙伴可以去多了解了解哦。