当直接处理多项式而不是二进制数时，有没有更好的方法在有限域上做模运算？

在有限域上进行模运算时，可以使用多项式插值法来简化计算过程。多项式插值法是一种基于拉格朗日插值多项式的方法，它可以将有限域上的多项式表示为一组已知点的插值多项式。

具体步骤如下：

首先，将多项式表示为一个系数向量，其中每个系数对应于多项式的每个项。
然后，选择一组已知点，这些点的横坐标是有限域上的元素，纵坐标是多项式在该元素上的取值。
使用拉格朗日插值多项式计算出插值多项式，该多项式经过已知点。
将插值多项式的系数与原多项式的系数进行模运算，得到在有限域上的模运算结果。

多项式插值法在有限域上进行模运算的优势是可以简化计算过程，减少计算量。它适用于需要频繁进行模运算的场景，例如密码学、编码理论等领域。

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但是我们常见的实数域却无法直接在计算机中精确的保存，因此有限域这类能够支持四则运算而且能够用有限的编码精确保存的东西就非常有用了。...域域的定义在各种与离散数学相关的地方都能看到，看上去定义的十分啰嗦，说白了其实就是从有理数抽象出来的一种集合，能加能减能乘能除，满足各种四则运算律。普通的域没啥特别之处，感觉实际上用处不大。...常见的有限域当然就是模素数域了，比如模7域GF(7)=\{0,1,2,3,4,5,6\}，这类域能够生成阶数为指定素数的域。...映射方法对于GF(2^8)来说，一个8bit的二进制数就直接按照各个位上的值依次放在x^i的系数上(显然这个多项式各个位上的系数只能是0或1)。...比如5的二进制表示是101，那么他对应的多项式就是x^2+1。 多项式计算 多项式的计算是问题解决的核心，普通的多项式以及正常的四则运算显然不是一个域。

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当然，这个附加的数不是随意的，它要使所生成的新帧能与发送端和接收端共同选定的某个特定数整除（注意，这里不是直接采用二进制除法，而是采用一种称之为“模2除法”）。...到达接收端后，再把接收到的新帧除以（同样采用“模2除法”）这个选定的除数。因为在发送端发送数据帧之前就已通过附加一个数，做了“去余”处理（也就已经能整除了），所以结果应该是没有余数。...图5-9 “模2除法”和“模2乘法”示例具体来说，CRC校验原理就是以下几个步骤：（1）先选择（可以随机选择，也可按标准选择，具体在后面介绍）一个用于在接收端进行校验时，对接收的帧进行除法运算的除数...（是二进制比较特串，通常是以多项方式表示，所以CRC又称多项式编码方法，这个多项式也称之为“生成多项式”）。...（4）当以上新帧到达接收端后，接收端会把这个新帧再用上面选定的除数11001以“模2除法”方式去除，验证余数是否为0，如果为0，则证明该帧数据在传输过程中没有出现差错，否则出现了差错。

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