前面三篇文章已经为大家介绍了利用动态规划算法解决问题的思路以及相关的代码实现，最为核心的就是第一步利用数学中函数的思想来建立模型，然后求解问题。这三个问题构建的数学函数都有一个共同的特征就是所构建的函数都是一元函数即y = f(x)。
若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xi,j。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
一、动态规划的基本思想 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。 在这类问题中，可能会有许多可行解。 每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。 基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。 适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。 如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。 我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。 这就是动态规划法的基本思路。 具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。 二、设计动态规划法的步骤 找出最优解的性质，并刻画其结构特征； 递归地定义最优值（写出动态规划方程）； 以自底向上的方式计算出最优值； 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。 步骤1～3是动态规划算法的基本步骤。 在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略； 若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4。 三、动态规划问题的特征 动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质： 最优子结构： 当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。 重叠子问题： 在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。
现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
最长公共子序列问题可以通过动态规划（Dynamic Programming）来解决。其基本思想是构建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示字符串 text1 的前 i 个字符和字符串 text2 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。
在Go语言中，求两个序列的最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）的方法。下面是一个Go语言实现的示例代码，用于找到给定两个序列的LCS：
http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630
问题描述 给定两个序列，求出它们的最长公共子序列。 如：序列X={a,b,c,b,d,a,b}，Y={b,d,c,a,b,a}，则X和Y的最长公共子序列为{b,c,b,a} 子序列：子序列为原序列的一个子集，并不要求连续，但要求子序列中元素的顺序和原序列元素的顺序一致。 定理 设两个序列分别是X={x1,x2……,xm}，Y={y1,y2……,yn}，它们的最长公共子序列为Z={z1,z2,……,zk}。 若xm=yn，则先求Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，再在其尾部加上xm即可得
给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB。则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA
不知道大家做算法题有什么感觉，我总结出来做算法题的技巧就是，把大的问题细化到一个点，先研究在这个小的点上如何解决问题，然后再通过递归/迭代的方式扩展到整个问题。
今天分享的题目是 LeetCode 上的第 1143 题最长公共子序列，难度是中等。解题的思路是动态规划(Dynamic Programing)。 动态规划的题解都是不好想到的，如果没有动态规划相关的的经验，基本上想不到这样的解题方法。我写这篇文章的意义，也就是将解这道题或者类似题目的动态规划的解题方法讲解清楚，为后续的发展打下基础。
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
最长公共子序列(LCS,Longest Common Subsequence)。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的。 设X(m)={x(1), x(2), x(3),....,x(m)} 和 Y(n)={y(1), y(2), y(3),....,y(n)}的最长公共子序列Z(k)={z(1), z(2),z(3),....,z(k)} 首先，将原问题分解为子
给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
最长公共子序列问题：给定两个序列X={x1,x2,....xm}, Y={y1,y2,yn},找出XY的最长公共子序列 1 最长公共子序列结构 1 xm=yn，则zk = xm = yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列 2 xm!=yn,zk!=xm,则Z是xm-1,yn的最长共公共子序列 3 xm!=yn,zk!=yn,则Z是xm,yn-1的最长公共子序列 2 子问题的递归结构 1 xm=yn时，找出xm-1,yn-1的最长公共子序列 2 xm!=yn时，找出xm
递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质
首先需要科普一下，最长公共子序列（longest common sequence）和最长公共子串（longest common substring）不是一回事儿。什么是子序列呢？即一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。什么是子串呢？给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。给一个图再解释一下：
本文记录寻找两个字符串最长公共子串和子序列的方法。 名词区别 最长公共子串（Longest Common Substring）与最长公共子序列（Longest Common Subsequence）的区别： 子串要求在原字符串中是连续的，而子序列则只需保持相对顺序，并不要求连续。 最长公共子串 是指两个字符串中最长连续相同的子串长度。 例如：str1=“1AB2345CD”,str2=”12345EF”,则str1，str2的最长公共子串为2345。 动态规划 如果 str1 的长度为
这是 LeetCode 上的「1713. 得到子序列的最少操作次数」，难度为「困难」。
问题描述： 求两个字符序列的公共最长子序列。 ---- 最长公共子串 在回到子序列问题之前，先来了解一下子串的问题。 例如，HISH和FISH两个字符序列的公共最长子串就是：ISH。很容易理解。 ---- 绘制网格 通过上一次背包问题的学习，给了我一些很重要的启示： 每种动态规划解决方案都设计网格。 动态规划可以帮助你在给定约束条件下找到最优解。 问题可分解为彼此独立且离散的子问题时，就可以使用动态规划法来解决。 那么，要解决这个问题的网格长什么样呢？要确定这一点，你首先得回答： 1.单元格中的值是什么？
比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。
动态规划处理字符相关案例中，求最长公共子序列以及求最短编辑距离，算是经典中的经典案例。
倘若要在一堆数据中对一个关键词进行匹配搜索，传统做法是把数据拆分开，然后遍历他们，看看是否包含这个关键词，对于 “fin” 和 “finish” 这样存在包含关系的单词来说是没问题的，但是对于 “fish” 和 “finish” 这样并不存在包含关系的单词就失效了，这时候期望计算出两个单词的相似性，比如 “fish” 和 “finish” 都包含 “ish”，“ish” 的长度是 3，我们可以理解相似性为 3。目前主流做法是通过最长公共子串来寻找两个或多个已知字符串最长的子串。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
我昨天面了天美L1的游戏客户端开发，面了我100分钟，问完实习、项目、计算机图形学和C++后给了我两道算法题做，一道是最长公共子序列，一道是LRU缓存，我知道是经典的题目，但是我都没敲过，最长公共子序列面试前一晚运气好随口问了一下GPT的解决思路，记得是二维的动态规划
同理 2 3 2 1 4 5的子序列也有很多，但是应该比下面的要少，因为出现重复的元素
http://blog.csdn.net/nevasun/article/details/6977511
前段时间一直在做关于数据结构的题，也算是对数据结构有了一定的了解，知道了有些数据结构的基本算法。现在刚刚开始接触动态规划，其实写这篇文章的初衷是一来锻炼一下自己的总结能力，二来也是希望通过这篇文章，来指引和我一样的初学者，废话不多说了，开始吧。
一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
思路:后缀是指要解决的子问题是原问题的后半部分，如果用字符串类描述，相当于子问题永远都是原问题的后半部分 str[i:]
动态规划最长公共子序列（LCS）问题（Java实现） 首先，明白一个公共子序列和公共子串的区别 公共子序列： 可以不连续 公共子串： 必须连续 问题分析 --- 求最长公共子序列，先明白两个概念 子序列 - 一个给定序列中删去若干元素后得到的序列 公共子序列 - 给定两个序列X，Y，当另一序列Z 既是X 的子序列，又是Y 的子序列时，就称Z 为X、Y 的公共子序列 明白上述两个概念后，我们就可以开始搜索最长公共子序列 这个问题可以使用暴力方法解决，但是由于要全部搜索一遍，时间复杂度为 O(n2<su
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 。
LCS-LENGTH（Longest Common Subsequence Length）问题的带备忘的版本通常指的是使用动态规划（Dynamic Programming, DP）和备忘录（Memoization）来优化算法性能，避免重复计算。通过维护一个表（即“备忘录”）来存储已经计算过的子问题的解，从而在解决新问题时可以直接查找已存储的结果，而不是重新计算。
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
因为回文串正着反着都一样所以，这题可以再弄一个输入字符串翻转的字符串，然后求最长公共子序列。
0. 引言 最近鄙人面试百度，出了这道求解公子序列长度的算法题。故此总结一下，这是一个很典型的题目，希望对大家将来的面试中能起到学习的作用。 1. 问题描述 子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串 cnblogs belong 比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串
1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数 给你一个字符串 s ，每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。 请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数 。 「回文串」是正读和反读都相同的字符串。
子串（Substring）是串的一个连续的部分，子序列（Subsequence）则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得的新序列；更简略地说，前者（子串）的字符的位置必须连续，后者（子序列LCS）则不必。比如字符串acdfg同akdfc的最长公共子串为df，而他们的最长公共子序列是adf。
希望上海疫情尽早过去，其实有一段稳定的时间是比较适合沉淀一下技术的，多少还是自己有些散漫，近期应该会恢复更新《手撕MySQL》系列文章。这篇文章通过一道经典例题：最长公共子序列，给大家讲讲动态规划，并且给出一道LeetCode周赛动态规划题作为练手并讲解，相信看完文章之后，你会对动态规划有更深的理解。
最长公共子序列，。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
最长公共子序列动态规划解法： dp[i][j] -- 表示子串A[0...i]（数组长度为n）和子串B[0...j]（数组长度为m）的最长公共子序列
众所周知，很多社区都是有内容审核机制的，除了第一次发布，后续的修改也需要审核，最粗暴的方式当然是从头再看一遍，但是编辑肯定想弄死你，显然这样效率比较低，比如就改了一个错别字，再看几遍可能也看不出来，所以如果能知道每次都修改了些什么，就像git的diff一样，那就方便很多了，本文就来简单实现一个。
这两年一直有人跟我说选择大于努力，一开始不了解其中深意。最近开始感慨颇深，昨天有个老哥来我们公司，28岁就从字节退休了，问我们公司要不要投资。?好吧，别人家的28岁。在合适的时机能做出选择确实很重要啊
给定两个序列 ，设 为 的长度，其中 分别表示 从首元素到第 i 个元素的一段、 从首元素到第 个元素的一段, 分别表示 中第 i个元素、 中第 个元素，序列 和 的长度分别为 和 。则 的状态转移方程为：
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划，大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路，比如说编辑距离。而且，这个算法稍加改造就可以用于解决其他问题，所以说 LCS 算法是值得掌握的。
举个例子：s1="abcfde"，s2="bcde"。那么s1与s2的最长公共子序列就是"bcde"，注意不要求连续。该问题是典型的动态规划问题。
咱们就不拐弯抹角了，如题，需要你做的就是写一个程序，得出最长公共子序列。 tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
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