查找两个端点之间的n个对数间隔

要在两个端点之间查找n个对数间隔，可以使用以下步骤：

1. 确定端点和间隔数：
   • 设两个端点为 ( a ) 和 ( b )。
   • 设需要的对数间隔数为 ( n )。
2. 计算对数尺度上的间隔：
   • 计算 ( a ) 和 ( b ) 的对数值： ( \log(a) ) 和 ( \log(b) )。
   • 计算对数尺度上的间隔： ( \Delta \log = \frac{\log(b) - \log(a)}{n+1} )。
3. 计算每个间隔的点：
   • 计算对数尺度上的点： ( \log(x_i) = \log(a) + i \cdot \Delta \log )，其中 ( i ) 从 0 到 ( n )。
   • 将这些对数尺度上的点转换回原始尺度： ( x_i = 10^{\log(x_i)} )。

示例

假设 ( a = 1 )， ( b = 1000 )，并且需要 ( n = 9 ) 个间隔（即总共 10 个点）。

1. 计算对数尺度上的间隔：
   • ( \log(1) = 0 )
   • ( \log(1000) = 3 )
   • ( \Delta \log = \frac{3 - 0}{10} = 0.3 )
2. 计算每个间隔的点：
   • ( \log(x_0) = 0 + 0 \cdot 0.3 = 0 ) -> ( x_0 = 10^0 = 1 )
   • ( \log(x_1) = 0 + 1 \cdot 0.3 = 0.3 ) -> ( x_1 = 10^{0.3} \approx 2 )
   • ( \log(x_2) = 0 + 2 \cdot 0.3 = 0.6 ) -> ( x_2 = 10^{0.6} \approx 4 )
   • ( \log(x_3) = 0 + 3 \cdot 0.3 = 0.9 ) -> ( x_3 = 10^{0.9} \approx 8 )
   • ( \log(x_4) = 0 + 4 \cdot 0.3 = 1.2 ) -> ( x_4 = 10^{1.2} \approx 15 )
   • ( \log(x_5) = 0 + 5 \cdot 0.3 = 1.5 ) -> ( x_5 = 10^{1.5} \approx 31 )
   • ( \log(x_6) = 0 + 6 \cdot 0.3 = 1.8 ) -> ( x_6 = 10^{1.8} \approx 63 )
   • ( \log(x_7) = 0 + 7 \cdot 0.3 = 2.1 ) -> ( x_7 = 10^{2.1} \approx 125 )
   • ( \log(x_8) = 0 + 8 \cdot 0.3 = 2.4 ) -> ( x_8 = 10^{2.4} \approx 250 )
   • ( \log(x_9) = 0 + 9 \cdot 0.3 = 2.7 ) -> ( x_9 = 10^{2.7} \approx 500 )
   • ( \log(x_{10}) = 0 + 10 \cdot 0.3 = 3 ) -> ( x_{10} = 10^{3} = 1000 )

这样，你就得到了从 1 到 1000 的 10 个对数间隔的点：1, 2, 4, 8, 15, 31, 63, 125, 250, 500, 1000。

总结

通过上述步骤，你可以在两个端点之间找到 ( n ) 个对数间隔的点。这种方法特别适用于需要在非线性尺度上进行均匀间隔的情况。