本书编写了300多个实用而有效的数值算法C语言程序。其内容包括:线性方程组的求解,逆矩阵和行列式计算,多项式和有理函数的内插与外推,函数的积分和估值,特殊函数的数值计算,随机数的产生,非线性方程求解,傅里叶变换和FFT,谱分析和小波变换,统计描述和数据建模,常微分方程和偏微分方程求解,线性预测和线性预测编码,数字滤波,格雷码和算术码等。全书内容丰富,层次分明,是一本不可多得的有关数值计算的C语言程序大全。本书每章中都论述了有关专题的数学分析、算法的讨论与比较,以及算法实施的技巧,并给出了标准C语言实用程序。这些程序可在不同计算机的C语言编程环境下运行。
这里主要以简单的牛顿迭代法介绍非线性方程的求解,维基百科对“牛顿迭代法”的解释:
在matlab中符号变量间也可进行算术运算,常用算术符号:+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、 '、 .',假设用符号变量A和B,其中A,B可以是单个符号变量也可以是有符号变量组成的符号矩阵。当A,B是矩阵时,运算规则按矩阵运算规则进行。
已知现在有M个广告主和N个广告词,其中每个单位流量的(广告主,广告词)收益固定,且每个广告主/广告词均有流量分配限制,问如何给(广告主,广告词)分配流量,使得收益达到最大。
学过统计学的同学,深知最小二乘法是线性回归的基础,也是从描述统计到统计推断的必经之路。今天我们一起从线性代数的求解过程中,揭秘最小二乘法的重要特性。
接上篇文章,继续更新一些numpy下的一些常用函数的使用, 在这里多为矩阵的操作,创建矩阵,单位矩阵,求解逆矩阵等并进行one-hot编码,线性矩阵的特征向量,特征值,奇异值,行列式的计算。
线性方程组,是任何标准大学数学教材讲解矩阵是都要用到的,并用它引出矩阵概念。之所以如此,可能有两个原因:一是因为我们在初中的时候就已经学习过线性方程组,对它不陌生,正所谓“温故而知新”;二是矩阵的确是为了求解线性方程组而被提出的。所以,此处也不免俗,依然从线性方程组开始,引出矩阵。
但是,近日,来自佐治亚理工学院的华人学者彭泱(Richard Peng)却凭借“迭代猜测”策略,提出了一种能够更快求解线性方程组的方法,并因此获得 2021 年算法顶会 ACM-SIAM 的最佳论文奖!
Mathematica 12 为偏微分方程(PDE)的符号和数值求解提供了强大的功能。本文将重点介绍版本12中全新推出的基于有限元方法(FEM)的非线性PDE求解器。首先简要回顾用于求解 PDE 的 Wolfram 语言基本语法,包括如何指定狄利克雷和诺伊曼边界条件;随后我们将通过一个具体的非线性问题,说明 Mathematica 12的 FEM 求解过程。最后,我们将展示一些物理和化学实例,如Gray-Scott模型和与时间相关的纳维-斯托克斯方程。更多信息可以在 Wolfram 语言教程"有限元编程"中找到,本文大部分内容都以此为基础(教程链接见文末)。
解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。这是带有两个未知变量的线性方程组的示例:
过去十年来,深度学习领域发展迅速,其一大主要推动力便是并行化。通过 GPU 和 TPU 等专用硬件加速器,深度学习中广泛使用的矩阵乘法可以得到快速评估,从而可以快速执行试错型的深度学习研究。
解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。这是带有两个未知变量的线性方程组的示例,x并且y:
数学建模主要模型不单独写,参考数学模型第四版教材即可,只给出编程中一些重要的算法目录,如果有方法漏写,请评论区指出,笔者添加,谢谢QAQ
美赛马上来了,总结一下这些年参赛的算法(我打编程位),数学建模主要模型不单独写,参考数学模型第四版教材即可,只给出编程中一些重要的算法目录,如果有方法漏写,请评论区指出,笔者添加,谢谢QAQ
这篇文章通过R语言代码的形式,介绍给定方差组分的情况下,如何根据两种矩阵求解的方法分别计算BLUE值和BLUP值。
克莱姆法则(由线性方程组的系数确定方程组解的表达式)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理,它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。
SciPy(Scientific Python)是一个开源的Python科学计算库,用于解决科学与工程领域的各种数值计算问题。它建立在NumPy库的基础之上,并额外提供其他更高级的功能与工具,涵盖了许多科学分析领域——包括数值积分、优化、插值、信号和图像处理、线性代数、统计分析等。其中,SciPy常用的一些功能如下所示。
课程主页:http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_LA16.html
当一个矩阵具有重复的特征值时,意味着存在多个线性无关的特征向量对应于相同的特征值。这种情况下,我们称矩阵具有重复特征值。
这一节我们会接着上一节,介绍完近端牛顿方法(Proximal Newton Method),剩下的时间会拿来介绍一些基本的矩阵论和数值计算的知识,用于对之后介绍高阶方法的铺垫~
求解线性方程组是科学计算中的一个基础问题,也可利用线性方程组构造复杂的算法,如数值计算中的插值与拟合、大数据中的线性回归、主成分分析等。而正是由于线性求解问题在学科中的基础性作用,其在科学、工程、金融、经济应用、计算机科学等领域也应用广泛,如常见的天气预报,需要通过建立并求解包含百万变量的线性方程组实现对大气中类似温度、气压、湿度等的模拟和预测;如销量预测,需要采用线性回归方式的时序预测方法进行预测。
非线性迭代方法的理论基础是泰勒(Taylor)级数展开。 对于一关于x的非线性方程f(x)=0,其关于x0点的泰勒(Taylor)级数展开式为: 当从二阶开始截断,只保留前两项可得: 由于截断,只能得
这一节将要通过求解线性方程组引出矩阵的概念。 # gauss消元法 OUTLINE: 主要内容: - m个方程n个未知数的线性方程组 - 齐次、非齐次、解集合、特解、通解 - 消元过程(例子) - 矩阵 - 增广矩阵 - 阶梯型方程组 - 阶梯型矩阵 - 方程组的初等变换 - 矩阵的初等行变换 - 任一矩阵均可通过有限次初等变换化为阶梯型矩阵 - 带参数的方程组 相关: - 简化阶梯矩阵
线性方程组是各个方程的未知元的次数都是一次的方程组。解这样的方程组有两种方法:克拉默法则和矩阵消元法。
数学建模中,大多数人都在用MATLAB,但MATLAB不是一门正统的计算机编程语言,而且速度慢还收费,最不能忍受的就是MATLAB编辑器不支持代码自动补全。python对于数学建模来说,是个非常好的选择。python中有非常著名的科学计算三剑客库:numpy,scipy和matplotlib,三者基本代替MATLAB的功能,完全能够应对数学建模任务。
r就是最简矩阵当中非零行的行数,它也被称为矩阵的秩。我们把A矩阵的秩记作: R(A),那些方程组中真正是干货的方程个数,就是这个方程组对应矩阵的秩,阶梯形矩阵的秩就是其非零行数!
Krylov方法是一种 “降维打击” 手段,有利有弊。其特点一是牺牲了精度换取了速度,二是在没有办法求解大型稀疏矩阵时,他给出了一种办法,虽然不精确。
这个问题很好解释,矩阵使得公式表达更加的方便。就这一便利性而言就值得引入矩阵这一概念,譬如:
numpy 用来解方程的话有点复杂,需要用到矩阵的思维!我矩阵没学好再加上 numpy 不能解非线性方程组,所以...我也不会这玩意儿!
摘录的一篇有关求解非线性最小二乘问题的算法–LM算法的文章,当中也加入了一些我个人在求解高精度最小二乘问题时候的一些感触:
高斯消元(Gaussian Elimination)是一种用于解线性方程组的算法,通过逐步的行变换来将方程组转化为简化的行阶梯形式,从而求解方程组的解。
是否同号, 然后即可知根落在左侧还是右侧, 用这个中点来代替掉原来的端点, 然后得到一个新的区间, 如此反复迭代下去之后, 我们会发现区间收敛到接近一个数
上一讲我们对于线性方程组可以使用矩阵 Ax=b来表示,这一讲求解该等式,对于矩阵,使用矩阵消元法。
的解,假如有解的话,我们可以将其分解成两部分,这样我们就可以利用上一讲的成果。即:
首先我们要有一个概念,对于线性系统来说,有三种等价的变化,即这三种变换不会改变线性系统的解
一、基本线性回归模型的抽象 在基本的线性回归中(可见简单易学的机器学习算法——线性回归(1)),对于一个线性回归为题,我们得到一个线性方程组: 在上一篇中我们是构建平方误差函数使得误差函数取得
欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。 第一种证明: a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有 d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b ,
在基本的线性回归中(可见简单易学的机器学习算法——线性回归(1)),对于一个线性回归为题,我们得到一个线性方程组:
$$ x1 \times x2 + x1 \times x3 + x2 \times x3 = \frac{c}{a} $$
这篇文章不包含透视变换(projective/perspective transformation),而将重点放在仿射变换(affine transformation),将介绍仿射变换所包含的各种变换,以及变换矩阵该如何理解记忆。
最后,根据问题的情况,我们可以使用任一方法来找到列表 [9, 8, 7, 6, 5] 和 [3, 4, 5, 6, 7] 在索引 3 处的交点。
文章背景:在工程计算中,经常会遇到求解一元非线性方程的问题,如给定一个区间,求解非线性方程的根,或者求最值(最大值或最小值)。下面介绍三种比较简单的算法。
本节先介绍梯度下降算法,这是因为梯度下降算法是深度学习(DeepLearning )的核心精髓,这也是为什么有一些专家称深度学习为 Gradient Programing 的原因所在。「学到后面就会发现其实整个深度学习是依靠梯度下降算法支撑起来的,深度学习之所以有这么强大的能力,甚至在某一些领域接近人类,究其本质是因为深度学习可以求解一个非常庞大复杂的函数,而求解这个函数的工具就是梯度下降算法。」
线性方程在生活的出现的比例很高,很多地方都可以出现它的身影。这些方程都是通过对实际数据的分析处理得来的,那么这些方程到底该如何确定呢?就像下面的散点图,如何通过它得到一个线性方程?
一般而言,通过已有的数据点去推导其它数据点,常见的方法有插值和拟合。插值适用性较广,尤其是线性插值或样条插值已被广泛的应用。但是通过已知的函数去拟合数据,是连接理论与实验重要的桥梁,这一点是插值无法替代的。
有一说一,矩阵的数值算法不是那么简单的写,我这里会推荐一些学习的资源假如你愿意学的话。
很多问题最终归结为一个最小二乘问题,如SLAM算法中的Bundle Adjustment,位姿图优化等等。求解最小二乘的方法有很多,高斯-牛顿法就是其中之一。
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