多元函数的微积分（2） 求偏导类型： 显函数求偏导 2.复合函数求偏导 3.隐函数存在定理以及隐函数求导类型 4.变换求偏导 1.显函数求偏导 知识点：显函数对一个求导将另外一个变量看成常数就可以。 设 \displaystyle z=\arctan\frac{x-y}{x+y} ，求 \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y} 解： \displaystyle\dfrac{\partial z}{\
一道经典偏导求解问题 设 D=\{(x,y)|y > 0\} ，函数 z=z(x,y) 在 D 内有二阶连续的偏导数，变换 \begin{cases}u=x+a\sqrt{y}\\v=x+b\sqrt{y}\end{cases} ，把方程 \dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}-y\dfrac{\partial^2z}{\partial y^2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\partial z}{\partial y}=0 化为 \dfrac{\parti
考虑二维空间中的一个连续体,分别是其中的两个物质点，如图3.1所示。在连续体变形前(时刻)引入物质坐标系，另外，在连续体变形之后(时刻)引入空间坐标系。两个坐标系相关的基向量分别为和。
在数学中, 矩阵微积分是多元微积分的一种特殊表达，尤其是在矩阵空间上进行讨论的时候。它把单个函数对多个变量或者多元函数对单个变量的偏导数写成向量和矩阵的形式，使其可以被当成一个整体被处理。
导数的定义：假设有一个函数f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}，其输入输出都是标量。如果f的导数存在，那么这个极限被定义为：
令导函数等于 0，求出极值点，这个点是极大值还是极小值，通过极值点左右的增减性来判断（由导函数在区间范围内的正负判断）。通常我们会绘制一个增减表。
线性代数 一、基本知识 本书中所有的向量都是列向量的形式： \[\mathbf{\vec x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end{bmatrix}\] 本书中所有的矩 \(\mathbf X\in \mathbb R^{m\times n}\) 都表示为： \[\mathbf X = \begin{bmatrix} x_{1,1}&x_{1,2}&\cdots&x_{1,n}\\ x_{2,1}&x_{2
假定实值函数的向量变元 或者矩阵变元 本身无任何特殊结构，即向量或矩阵变元的元素之间是各自独立的。用数学公式表达如下：
缘由 布局 求导的类别 从简单的例子说起 实例 SVM的对偶形式转换 Soft-SVM对偶形式转换 线性回归 logistic回归 参考资料 缘由 机器学习的很多算法表示中都采用了矩阵的形式，对算法的
每个epoch： \qquad 每个batch： \qquad\qquad 每个level (n = N, … to 1，即从顶层往底层)： \qquad\qquad\qquad 分别计算出该层误差（对该层参数、该层输入数据）的导数： \qquad\qquad\qquad\quad 1. ∂L∂ωn=∂L∂xn+1∂xn+1∂ωn∂L∂ωn=∂L∂xn+1∂xn+1∂ωn\frac{\partial L}{\partial \omega^{n}} = \frac{\partial L}{\partial x^{n+1}} \frac{\partial x^{n+1}}{\partial \omega^{n}} (更新本level的ωnωn\omega^{n}时即用) \qquad\qquad\qquad\quad 2. ∂L∂xn=∂L∂xn+1∂xn+1∂xn∂L∂xn=∂L∂xn+1∂xn+1∂xn\frac{\partial L}{\partial x^{n}} = \frac{\partial L}{\partial x^{n+1}} \frac{\partial x^{n+1}}{\partial x^{n}} (留给底一层的level用) \qquad\qquad\qquad 更新参数： \qquad\qquad\qquad\quad 1. ωn←ωn−η∂L∂ωnωn←ωn−η∂L∂ωn\omega^{n} \leftarrow \omega^{n} - \eta \frac{\partial L}{\partial \omega^{n}} \qquad\qquad\qquad\quad 2. bn←bn−η∂L∂bnbn←bn−η∂L∂bnb^{n} \leftarrow b^{n} - \eta \frac{\partial L}{\partial b^{n}}
一道利用偏导数，格林公式以及定积分放缩的综合积分证明题 设 f(x,y) 在单位圆 D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\} 上有二阶连续偏导数，且满足 \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{e^{\sqrt{x^2+y^2}}}{1+\sqrt{x^2+y^2}} ，证明： \displaystyle 0 < \oint_{L}\frac{\partial f
1.方向导数以及梯度 （1）二元函数的方向导数以及梯度 （2）.三元函数的方向导数以及梯度 2.多元函数的几何应用 （1）曲面的切平面以及法线 （2）.曲线的切线以及法平面
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在之前写的上百篇机器学习博客中，不时会使用矩阵向量求导的方法来简化公式推演，但是并没有系统性的进行过讲解，因此让很多朋友迷惑矩阵向量求导的具体过程为什么会是这样的。这里准备用三篇来讨论下机器学习中的矩阵向量求导，今天是第一篇。
BP算法是适用于多层神经网络的一种算法，它是建立在梯度下降法的基础上的。本文着重推导怎样利用梯度下降法来minimise Loss Function。
注： 该篇博文是我阅读《How the backpropagation algorithm works》一文的笔记，该博文详细介绍了反向传播算法，并给出了反向传播算法四个基本公式中的前两个证明，我顺着作者的思路证明了后面两个，并记录了证明过程，希望能帮助到需要了解反向传播算法数学原理的童鞋。
向量\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_{1}}, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_{2}}, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_{3}}, \ldots \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_{n}}\right)叫做函数的梯度
在机器学习中的矩阵向量求导(一) 求导定义与求导布局中，我们讨论了向量矩阵求导的9种定义与求导布局的概念。今天我们就讨论下其中的标量对向量求导，标量对矩阵求导, 以及向量对向量求导这三种场景的基本求解思路。
反向传播算法（back propagation，简称BP模型）是1986年由Rumelhart和McClelland为首的科学家提出的概念，是一种按照误差逆向传播算法训练的多层前馈神经网络，是目前应用最广泛的神经网络。
在介绍逻辑回顾处理图片分类。我们处理的问题是二分类，输入一张图片判断图片中是否有猫。输入图片格式为RGB三色图，像素取值为0~255。
【知识预备】： UFLDL教程 - 反向传导算法 首先我们不讲数学，先上图解，看完图不懂再看后面： "BP" Math Principle ==============================
PyTorch 中，所有神经网络的核心是 autograd 包。autograd 包为张量上的所有操作提供了自动求导机制。它是一个在运行时定义 ( define-by-run ）的框架，这意味着反向传播是根据代码如何运行来决定的，并且每次迭代可以是不同的。
对于给定的数据集(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn){(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})}
当前主流的深度学习框架，除了能够便捷高效的搭建机器学习的模型之外，其自动并行和自动微分等功能还为其他领域的科学计算带来了模式的变革。本文我们将探索如何用MindSpore去实现一个多维的自动微分，并且得到该多元函数的雅可比矩阵。
Full configuration bitstreams对应的是静态区加动态区的完整设计，因此，该文件与传统的非DFX工程生成的bitstream从文件格式到文件结构均是一致的。同时使用方法也是一致的。另外，一些特征如对bitstream文件进行加密和压缩也是支持的。另一方面，这里的RP可以是黑盒子，即RP没有任何功能，这样可以最大程度缩减bitstream大小，如果再结合bitstream的压缩特性，那么就可以进一步提升FPGA初始配置时间。Full configuration bitstreams的加载过程如下图所示。加载完成且验证通过，DONE信号就会抬高，FPGA就进入用户模式，图中绿色标记。
海森矩阵（Hessian Matrix），又译作黑塞矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。海森矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。海森矩阵常用于牛顿法解决优化问题。
线性回归完成了数据的拟合，我们通过引入一个sigmoidsigmoidsigmoid函数，即可在线性回归模型的基础上实现分类。
在讲Levenberg-Marquardt算法之前我想先谈下牛顿法和高斯牛顿法。
在深度神经网络（DNN）模型与前向传播算法中，我们对DNN的模型和前向传播算法做了总结，这里我们更进一步，对DNN的反向传播算法（Back Propagation，BP）做一个总结。
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如果函数 在点 可微，则在点 的 Jacobian 矩阵即为该函数在该点的最佳线性逼近，也被称为向量值多变数函数 在点 处的微分或导数。
在前面我们讲到了DNN，以及DNN的特例CNN的模型和前向反向传播算法，这些算法都是前向反馈的，模型的输出和模型本身没有关联关系。今天我们就讨论另一类输出和模型间有反馈的神经网络：循环神经网络(Recurrent Neural Networks ，以下简称RNN)，它广泛的用于自然语言处理中的语音识别，手写书别以及机器翻译等领域。
同梯度下降法一样，牛顿法和拟牛顿法也是求解无约束最优化问题的常用方法。牛顿法本身属于迭代算法，每一步需要求解目标函数的海赛矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵或海赛矩阵，简化了这一计算过程。
拆分一个类、一个结构、一个接口或一个方法的定义到两个或更多的文件中， 每个源文件包含类型或方法定义的一部分，编译应用程序时将把所有部分组合起来。
反向传播算法是一种用于训练神经网络的常用优化算法。它通过计算损失函数对每个参数的梯度，然后根据这些梯度更新参数值，以使得神经网络能够逐步调整和改进其预测结果。
o u t = 1 4 ( ∑ 3 ( x i + 2 ) 2 ) → d o u t d x i = 3 2 ( x i + 2 ) out = \frac{1}{4}(\sum3(x_i+2)^2) \rightarrow \frac{d_{out}}{dx_i} = \frac{3}{2}(x_i+2) out=41(∑3(xi+2)2)→dxidout=23(xi+2) x i = 1 , d o u t / d x i = 4.5 x_i = 1, d_{out}/dx_i = 4.5 xi=1,dout/dxi=4.5
互联网万物基于ChatGPT，学习深度学习之前，先来请教一下ChatGPT如何进行学习。
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。也就是说，在代码实现的过程中，虽然我们实现的一个函数可能带有很多个变量，但是可以用偏函数的形式把其中一些不需要拆分和变化的变量转变为固有变量。比较典型的两个例子是计算偏导数和多进程优化。虽然大部分支持自动微分的框架都有相应的支持偏导数的接口，多进程操作中也可以指定额外的args，但是这些自带的方法在形式上都是比较tricky的，感觉并不如使用偏函数优雅和简洁。这里我们主要介绍python中可能会用到的偏函数功能--partial。
3x−1+(1+x)2\sqrt{3x-1}+(1+x)^23x−1+(1+x)2
botui.js 是一个简单的聊天机器人框架，使用它可以完成简易的脚本对话式交流。缺点是只能在自己设定的逻辑内进行有限问答，而不是像真正的 AI 那样智能会话。
由于本教程涉及的所有修改对缩进格式等有严格要求，担心自己控制不好的可以直接下载静态资源。参照教程进行修改。静态资源包内的index.pug为butterfly_v3.5.1版本。其他版本改法详见教程正文。
在卷积神经网络(CNN)前向传播算法中，我们对CNN的前向传播算法做了总结，基于CNN前向传播算法的基础，我们下面就对CNN的反向传播算法做一个总结。在阅读本文前，建议先研究DNN的反向传播算法：深度神经网络（DNN）反向传播算法(BP)
在上篇文章 《深入理解 slab cache 内存分配全链路实现》 中，笔者详细地为大家介绍了 slab cache 进行内存分配的整个链路实现，本文我们就来到了 slab cache 最后的一部分内容了，当申请的内存使用完毕之后，下面就该释放内存了。
介绍完梯度下降算法，接下来通过具体的编程实现简单线性回归（对于只有一个样本特征的回归问题，我们称之为简单线性回归）。为了更好的介绍简单简单线性回归案例，将实现简单线性回归分成四个关键步骤：
前面我们讨论的神经网络的层数都不会很大，但是对于一些深层的神经网络来说，训练它将会变得非常困难。其中一个原因是对于深层神经网络其越接近输入的层越有可能出现梯度消失和梯度爆炸问题，导致网络无法继续学习到更多特征。
解析：分析，题目给出了偏导数，所以我们首先求出偏导数，根据偏导数对应的法则，可以求得
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