计算弹簧摆的最低点谈编程教育

原题已在8月5日发布过。有人疑惑编程这个工具该不该这么用？这样学习编程的优势在哪？本文从编程教育的角度解答疑问。

龙虾三吃的节奏

弹簧摆最低点在哪儿？从技术角度讲，这是一个比“爸爸去哪儿了”复杂的多的任务，每次看到蹦极跳活动，立即脑补弹簧摆的最低点，总是担心那些体重偏重一点，摆动幅度过大一点的勇士，会不会有着陆的危险。

原问题已在8月5日公众号发布过，篇幅不长，还惜笔墨，摆动受力分析一笔带过。一道经典物理题篇幅一半在说编程，难怪来有奔着物理来捧场的学生，有误入编程和数学老师课堂的赶脚。有点抱歉，丁大喵炖的牛肉火候未到，就出锅，有点夹生嚼不动。

是编程课，还是物理课？ 都是。海鲜馆子的龙虾三吃，生吃、煲粥、蒸煮三样吃法一起来，挺好吃。一个任务求解过程中能吃透物理、数学和编程三样学科，是正路，丁大喵为此努力学习早日成为五星大厨。

归根到底。龙虾还是龙虾，弹簧摆首先还是物理问题。上个世纪中学没有电脑和编程课，遇见这道题，物理老师做好受力分析，嗯哼，接力棒就可以交给大学数学老师了，这一交棒中间就隔了3年。美国孩子高中是学微积分的，编程教育更是甩了我们从观音桥到解放碑。回过头一想，我特能理解有人拍砖来：

1、这是物理课，还是编程课，感觉都有。

2、中学生能理解微积分吗，能。

是否可行，看牛肉炖的烂不烂，龙虾三吃的点子正，先想出来，再不断实践。丁丁猫的孩子尝到编写程序的“甜头”以后，这一点非常重要，一旦尝到甜头，孩子会自发地调整自己兴趣，掌握编程工具为己所用，形成习惯自学的良性循环。

一吃是吃透物理，受力分析。加速度，速度，动能势能守恒；

二吃是吃透数学，多些直观的体验，看着慢镜头一帧一帧地分析找到起微积分的感觉；

三吃是吃透编程，机器擅长做大规模重复运算，指令是你下达，它执行；

总结一下过程，先做扎实受力分析的物理这道菜，接着数学语言精确描述物理过程，最后写好代码，计算机能看懂的指令，累活就交给了计算机，整个程序只需赋值清楚常量和各变量与时间之间的函数关系，每隔一个时间段dt计算累加结果。

孩子看到后面程序跑起瞬间得到答案，眉头紧锁到小嘴翘起。没有接触过微积分的孩子，或对微积分无感，困惑的孩子来看有启发，对微积分直观的，或许孩子借由编程这一独特的途径打开微积分兴趣之门。

有一定编程基础，孩子尝到编写程序的“甜头”课程设计中要照顾到这一阶段孩子的心理特点，会自发地调整适合自己兴趣特长，形成良性循环。

原题图示见上：在坐标系中，棕色小球质量为1kg，是附着在无质量理想弹簧的一端上的。弹簧的另一端固定在原点上。弹簧常数是10N/m，弹簧的未拉伸长度是1m。

最初小球水平地保持在空中如图所示，然后被释放，重力将其向下拉。在第一次穿越（垂直）轴时，小球下降到最低点与原点的距离有多远？

细节和假设答案以米表示小数点后保留2位，环境向下重力加速度为10米/每秒平方

有人表示想不太清楚，弹簧摆的运动轨迹？

答：脑补整个弹簧摆动是什么样的过程，可能并不能对找到答案有多大帮助。用微积分算出轨迹，舍近求远了。动能势能守恒的上方宝剑在手，就可以直奔主题。帮助大家理解，特别找到一个视频，视频看弹簧摆的轨迹有点意思，稍出乎您的意料：-)

弹簧摆的摆动轨迹不是圆，那会是什么形状？

轨迹是否与想象不同？

第一吃

为什么用编程代替微积分解？

孩子们脑补以下洗衣机、扫地机器人不知疲倦地替人干活的感人场面，你的指令就是按钮按下去，机器立即明白了严格执行。现在换成是一个弹簧摆的任务，为啥就不能将任务交给一台会计算的机器呢？

“假想一个高速摄像机，将整个小球摆动的过程拍下来。1：10000的速度慢放镜头，将每隔一个“0.0001秒”暂停一下，小球位置标记下来，做受力分析，就得到如下图所示”

每隔0.0001秒拍一张小球位置

到此处可以开始第一吃，物理受力分析。

万事开头难，开始龙虾要选对，选小龙虾就虾米了。常见的掉坑的姿势分析：先受力分析，编程计算每0.0001秒的速度、位移，再做求和累加

某一瞬间的受力分析

第一个坑是最低点小球位置受力分析过早祭出动能势能守恒的宝剑，容易误以为小球的最低点的向心力是2个g（2个重力加速度）

第二个坑是弹簧对小球的作用力是变量，加速度是变量，速度和位移更是变量，都在变，很容易想到用微积分，但微积分这个大杀器搞起来晕啊！

“未来越来越多的问题描述需要建立起计算模型，而不只是数学模型

数学模型虽然精确，但有时难以计算...”

--《算法》作者Robert Sedgewick 斯坦福大学博士，导师为Donald E. Knuth

小球每一秒受力、加速度都能搞明白了，接下来就不知道怎么办。每隔0.0001秒计算一次受力、加速度和位移，加起来就是结果，可是... ...这活一秒钟摆动就要算10000次加减乘法，简直不是人干的啊！

每隔0.0001秒算一次，手工计算简直比罚重抄一百遍作业还悲催一百倍

编程交给机器执行大量重复运算，计算机明白怎么干吗？

对，这活本来就不是人干的，是计算机干的。

告诉计算机怎么干活，需要和交待人干活一样，你不说程序不知道你要干嘛，怎么干。二吃就是数学表达，程序里那些小学加减乘法就是受力分析。

数学描述下面小球的初始状态：

小球最开始在哪？

都是谁给了它哪些力让它动起来的？

这些力的大小是变化的，还是恒定不变的？

合力有了，加速度就有了，速度也有了，位移也就有了

现在可以三吃了，上编程计算最低点位置！

第二吃

dt = 0.0001 # 时间切片step size for simulation

x = 1.00 #小球初始位置

y = 0.0000 # 小球初始位置

vx = 0# 小球初始位置

vy = 0.0000 # initial velocity

g = 10.000 # 重力加速度 acceleration due to gravity

m = 1.00 # 小球质量 mass of object

k = 10.00 # 弹簧弹性系数 spring constant

L0 = 1.00 # neutral length of springt = 0.0000

#Spring wave.py 计算弹簧摆最低点的程序

while x > 0: # 小球最低点x坐标接近0，但不能小于0，干活啥时候停手

new_t = t + dt # 每隔dt 就是0.0001秒

# 初始位置, 弹簧悬挂点为坐标原点，弹簧松弛状态下的长度为X

r = math.sqrt(x*x + y*y) #小球到原点的距离r

L = r - L0

# 小球受力分析

Fspr = -k*L # 弹簧spring拉力 OB = r 的长度是变化的

Fg = m*g

Fx = Fspr * x/r # 弹簧spring拉力在X轴的投影

Fy = Fspr * y/r + Fg # 弹簧spring拉力在Y轴的投影

# 计算小球瞬间加速度

ax = Fx/m

ay = Fy/m

# 每隔dt = 0.0001秒计算一次，计算速度和位移，结果累加

dt = new_t - t

new_vx = vx + ax*dt #每隔0.00001秒速度变化x轴方向

new_vy = vy + ay*dt #每隔0.00001秒速度变化x轴方向

new_x = x + (vx+new_vx)/2 * dt #每隔0.00001秒x轴位移

new_y = y + (vy+new_vy)/2 * dt #每隔0.00001秒y轴位移

# 累加输出最终结果

x = new_x; y = new_y

vx = new_vx; vy = new_vy

t = new_t

print(y) # Y轴最大值就是小球最低点与原点距离

3.5303845

第三吃

为了保证计算精度，程序dt时间切片是0.0001秒，执行非常快但丝毫感觉不到等待，试试更高精度：dt为0.00001，再慢十倍看dt = 0.00001 小球最低点：3.5300487416454067。可见3.53米是高精度解（微积分的思想啊，喵喵）

importmath

dt =0.0001# 时间切片step size for simulation

x =1.00#

y =0.0000# initial position

vx =

vy =0.0000# initial velocity

g =10.000# 重力加速度 acceleration due to gravity

m =1.00# 小球质量 mass of object

k =10.00# 弹簧弹性系数 spring constant

L0 =1.00# neutral length of springt =0.0000# start the timer

whilex >:

new_t = t + dt#Calculate distance to origin

r = math.sqrt(x*x + y*y)

L = r - L0

# Calculate forces

Fspr = -k*L

Fg = m*g

Fx = Fspr * x/r

Fy = Fspr * y/r + Fg

#Calculate acceleration

ax = Fx/m

ay = Fy/m

#Simple numerical integration

dt= new_t - t

new_vx = vx + ax*dt

new_vy = vy + ay*dt

new_x = x + (vx+new_vx)/2*dt

new_y = y + (vy+new_vy)/2*dt

# Get ready for the next step

x = new_x; y = new_y

vx = new_vx; vy = new_vy

t = new_t

print(y)

3.5303845

小球最低点距离O点是约为3.53米

注释：Donald E. Knuth高德纳。《算法》作者Robert Sedgewick 斯坦福大学博士，导师为Donald E. Knuth。搜到中文名来自姚储枫教授（中国香港城大计算机科学系主任，华裔图灵奖得主姚期智的夫人）。

以“高”为姓，据Knuth自述是因其个头高大，且辅音G和K读音接近；“德纳”则与“Donald”相谐，且在中文里含体面高贵之义。其时（1977年）高德纳携夫人及儿女John和与Jen正准备访问中国大陆——姚储枫给孩子也分别起了“高小强”、“高小珍”的名字，他们全家还同中国孩子在公园玩过无须语言交流的游戏。

有人视高为文艺复兴时期式的天才人物，因其不仅博学，更难得的是具超一流的动手能力——在分工日益细化，专业领域愈来愈狭窄的现代社会，这种博而专，基础与应用兼能，理论和操作并行的人才类型尤为罕见。如同一个人独力设计制造一架飞机，除了需要精通空气动力学理论，还须考虑机身上每一颗螺丝钉的固定方式，这确实不免让人想到欧洲文艺复兴时期列奥纳多·达·芬奇那样的全能巨人。

《计算机程序设计艺术》第一卷于1968年推出，可真正能读完读懂的人为数并不多（传比尔·盖茨费时几个月才读完这一卷，然后说，如果你想成为一个优秀的程序员，那就去读这个《基本算法》吧）。高对此解释道：“我知道我的书是不容易读，不过要知道的是，如果不是我精雕细琢地写的话，它们会比现在难读一百倍。”