PCA模型加先验

大清牛人曰：ML派坐落美利坚合众山中，百年来武学奇才辈出，隐然成江湖第一大名门正派，门内有三套入门武功，曰：图模型加圈，神经网加层，优化目标加正则。有童谣为证：熟练 ML 入门功，不会作文也会诌。今天就介绍一个 PCA 加先验的工作。

1. 主成分分析 ( PCA )

PCA是常用的数据降唯模型。PCA 处理的数据中心点为零点

，如果数据中心点不是零点，需要预处理数据yyi=yyi−1n∑ni=1yyiyyi=yyi−1n∑i=1nyyi使得中心点为零点。PCA 降唯的思路：1）找到mm个相互正交并且使得投影方差最大的方向（专业一点的说法是找到一组使得方差最大的基），2) 将 k 维的数据投影到这m个方向上，得到m维数据。因为m会小于k，数据的维度下降了。这里最难理解的部分就是“使得投影方差最大”了。

什么是“使得投影方差最大”？数据 \pmb{y} 在 \pmb{c} 方向的投影（标投影）为 \pmb{y}^T\pmb{c} ，其中方向为单位向量 |\pmb{c}|_2^2=1 。一堆数据 \pmb{y}_1,\pmb{y}_2,....,\pmb{y}_n 在 \pmb{c} 方向的投影为一堆数：\pmb{y}_1^T\pmb{c},\pmb{y}_2^T\pmb{c},....,\pmb{y}_n^T\pmb{c} 。“ 使得投影方差最大 ” 是使得这堆数的方差最大。当然啦，PCA 是找到 m 个方向，因此 “使得投影方差最大” 应该是使得 m 堆数的方差之和最大。

为什么要“使得投影方差最大”呢？我们看下图，如果要把图中的数据压缩到一维，我们是选择右上方向还是左上方向呢？我们当然应该选右上方向! 因为右上方向上数据点散得比较开，压缩之后不同的数据点也好区分；而左上方向上数据点比较密集，不同数据压缩之后变相同的概率比较大。在中心点为零点的情况下，“ 散得开不开 ” 可以用这个方向上的投影方差刻画。方差比较大，“散得比较开”；方差比较少，“挤得密集”。因此我们需要“使得投影方差最大”。同时，这也是为什么 PCA 需要预处理数据使得中心点为零点。

让\pmb{Y}表示预处理之后的数据，其中每一行代表一条 k 维度的数据；\pmb{C} 表示 PCA 要找的方向，其中每一列代表一个方向。数据在不同方向的投影方差和等于||\pmb{Y}\pmb{C}||_F^2，也就是等于 Tr(\pmb{C}^T\pmb{Y}^T\pmb{Y}\pmb{C})。因此 PCA 需要求解如下优化问题。

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{eqnarray*}
& max_{\pmb{C}}& Tr(\pmb{C}^T\pmb{Y}^T\pmb{Y}\pmb{C}) \nonumber \
& subject:&  \pmb{C}^T\pmb{C} = \pmb{I} \nonumber \
\end{eqnarray*}

*** Error message:
Extra alignment tab has been changed to \cr.
leading text: & subject:&

上面的优化问题利用了 \pmb{Y}^T\pmb{Y} 。中心点为零点的情况下，\pmb{Y}^T\pmb{Y} 为不同变量的协方差矩阵。PCA 模型也可以基于协方差矩阵来解释，这里就不介绍了，有兴趣的同学可以看参考文献一。求解上面的优化问题蛮简单的，因为 \pmb{Y}^T\pmb{Y} 前 m 个特征向量就是答案！！！一旦求得\pmb{C}，压缩之后的数据为 \pmb{Y}\pmb{C}。

2. 海量多标记分类

介绍完 PCA 的基本知识，再来介绍一个 PCA 加先验的工作。这个工作都应用在海量多标记分类任务上。在多标记分类问题，一个实例同时拥有多个类别（ 标记 ）。比如一篇关注全球变暖的新闻报道既属于科学类别，也属于环境类别。有些任务中标记数量特别巨大，我们称之为海量多标记分类。比如多标记分类可以应用于标签推荐任务中，标签数量成千上万。用 \pmb{Y} 表示已经去中心化之后的标记矩阵，其中每一行代表一个实例的标记情况；用 \pmb{X} 表示实例，其中每一行代表一个实例的特征。

我们自然会想着把标记向量降维到一个低维向量，然后学习一个从实例到低维向量的模型，最后从低维向量还原出标记来（妈蛋！！什么叫自然！！！09 年才有人这么做好吧！！！）。作为最常用的数据降维方法，自然有人将PCA应用在这个问题上。但只用 PCA 是有缺陷的。PCA 只会考虑怎么有效地将标记向量压缩成低维向量，但低维向量是否适合学习就不管了。压缩得到的低维向量和实例特征有可能没有一点相关性，导致很难学习到一个从实例到低维向量的模型。这时候我们就应该往 PCA 模型加点“容易学习”的先验了。

我们介绍的工作—— Chen et al (2012) 假设实例到低维向量的模型是线性模型\pmb{W}，这时“容易学习”的先验知识可以表示为

(2)

根据最小二乘法，我们得\pmb{W} = \pmb{X}^{+}\pmb{Y}\pmb{C}。

将这个“容易学习”的先验加入PCA，我们能够得到

求解上面的优化问题就可以将“容易学习”的先验加入 PCA，使之适用于海量多标记分类任务。而且求解上面的问题也是蛮简单的，只要求解\pmb{Y}^T \pmb{X}\pmb{X}^{+} \pmb{Y} 前 m 个特征向量即可。

参考文献

http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE586Spring2010/lectures/pcaLectureShort_6pp.pdf

Chen, Yao-Nan, and Hsuan-Tien Lin. “Feature-aware label space dimension reduction for multi-label classification.” Advances in Neural Information Processing Systems. 2012.