线性代数--MIT18.06(二十三)

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23. 特征值和特征向量的应用

23.1 课程内容：求解一阶常系数微分方程

在上一讲我们已经介绍了特征值和特征向量的一种应用，那就是求解差分方程，这一讲，讲解其另一个应用——求解微分方程，当然，首先从一阶常系数微分方程开始讲解。

由该微分方程组，我们可以得到系数矩阵

和求解差分方程的过程一样，我们首先求解特征值和特征向量：这里可以发现一个小技巧，因为

是奇异矩阵（也就是说行向量或者列向量存在线性关系），因此必然有一个特征值为 0 ，而根据特征值的和与矩阵的迹（对角线元素之和）相等，由此可以知道另一个特征值为 -3 。

将两个特征值代入

，即得到两个特征向量分别为

，

。

和差分方程的通解形式类似，只不过在微分方程这儿的通解形式是以指数的形式，即

在这里的话，解就是

现在我们假设初始值条件为

那么就可以根据初始值条件求得系数

观察解的形式，我们发现，实际上和差分方程的情况类似，对于

也可以写成

的形式，对于上述结果就是

总结一下求解过程就是:

• 将微分方程组构造成

的形式

• 求解

的特征值和特征向量，写出通解形式

• 如果有初始值条件，则求解出系数

在差分方程的求解过程中，我们已经知道了，我们可以直接由特征值的符号和绝对值的大小来判断方程组的性质，在这里也是一样，引入收敛性和稳态。

• 收敛性（stability）：即当

，当然趋向于0 ，是指当前这个例子的情况，当然也可以是其他固定的值。要满足这样的情况，可以发现所有的特征值实部都是小于 0 的，即

• 稳态(steady state) : 有一个特征值为 0 ，而其他特征值的实部小于 0 。
• 而如果有特征值的实部大于 0 ，那么结果是必然发散的，因为

,

现在我们已经知道了通解的形式，以及特征值与通解性质之间的关联，我们就会考虑，如何将通解用

和

表示出来。

我们已经知道可以表示

, 代入

,即

由此得到

那么

如何证明上述等式的右边是成立的呢? 即

这里用到泰勒展开，我们已经知道

同样地对

进行泰勒展开，并且我们知道，如果可以对

进行对角化的话，那么

,即可推导：

可以发现括号内部就是

的泰勒展开式！

所以等式成立，即

23.2 习题课

2011年习题课

（http://open.163.com/movie/2016/4/R/G/MBKJ0DQ52_MBPD47BRG.html）

对于三阶微分方程

，其中

是

的函数，请写出系数矩阵

, 以及

的第一列

解答

首先将三阶微分方程，转化为一阶微分方程的形式，我们可以令

，则

根据原方程，我们就可以得到

由此，我们就可以使用之前的方法，求解

的特征值和特征向量

由此得到

将各个

分别代入求解

可以得到特征向量分别为

,

,

由此我们得到

的通解形式

对于

，有

由此得到