子序列问题

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int sum = 0, res = INT_MIN;
        for(auto m : nums){
            if(sum > 0)
                sum += m;
            else
                sum = m;
            res = max(res, sum);
        }
        return res;
    }
};

这个分治方法类似于「线段树求解 LCIS 问题」的 pushUp 操作。 也许读者还没有接触过线段树，没有关系，方法二的内容假设你没有任何线段树的基础。当然，如果读者有兴趣的话，推荐看一看线段树区间合并法解决 多次询问 的「区间最长连续上升序列问题」和「区间最大子段和问题」，还是非常有趣的。

我们定义一个操作 get(a, l, r) 表示查询 aa 序列 [l, r][l,r] 区间内的最大子段和，那么最终我们要求的答案就是 get(nums, 0, nums.size() - 1)。如何分治实现这个操作呢？对于一个区间 [l, r][l,r]，我们取 m = \lfloor \frac{l + r}{2} \rfloorm=⌊ 
2
l+r
​    
⌋，对区间 [l, m][l,m] 和 [m + 1, r][m+1,r] 分治求解。当递归逐层深入直到区间长度缩小为 11 的时候，递归「开始回升」。这个时候我们考虑如何通过 [l, m][l,m] 区间的信息和 [m + 1, r][m+1,r] 区间的信息合并成区间 [l, r][l,r] 的信息。最关键的两个问题是：

我们要维护区间的哪些信息呢？
我们如何合并这些信息呢？
对于一个区间 [l, r][l,r]，我们可以维护四个量：

lSum 表示 [l, r][l,r] 内以 ll 为左端点的最大子段和
rSum 表示 [l, r][l,r] 内以 rr 为右端点的最大子段和
mSum 表示 [l, r][l,r] 内的最大子段和
iSum 表示 [l, r][l,r] 的区间和
以下简称 [l, m][l,m] 为 [l, r][l,r] 的「左子区间」，[m + 1, r][m+1,r] 为 [l, r][l,r] 的「右子区间」。我们考虑如何维护这些量呢（如何通过左右子区间的信息合并得到 [l, r][l,r] 的信息）？对于长度为 11 的区间 [i, i][i,i]，四个量的值都和 a_ia 
i
​    
相等。对于长度大于 11 的区间：

首先最好维护的是 iSum，区间 [l, r][l,r] 的 iSum 就等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 iSum。
对于 [l, r][l,r] 的 lSum，存在两种可能，它要么等于「左子区间」的 lSum，要么等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 lSum，二者取大。
对于 [l, r][l,r] 的 rSum，同理，它要么等于「右子区间」的 rSum，要么等于「右子区间」的 iSum 加上「左子区间」的 rSum，二者取大。
当计算好上面的三个量之后，就很好计算 [l, r][l,r] 的 mSum 了。我们可以考虑 [l, r][l,r] 的 mSum 对应的区间是否跨越 mm——它可能不跨越 mm，也就是说 [l, r][l,r] 的 mSum 可能是「左子区间」的 mSum 和 「右子区间」的 mSum 中的一个；它也可能跨越 mm，可能是「左子区间」的 rSum 和 「右子区间」的 lSum 求和。三者取大。
这样问题就得到了解决。

对于这道题而言，确实是如此的。但是仔细观察「方法二」，它不仅可以解决区间 [0, n - 1][0,n−1]，还可以用于解决任意的子区间 [l, r][l,r] 的问题。如果我们把 [0, n - 1][0,n−1] 分治下去出现的所有子区间的信息都用堆式存储的方式记忆化下来，即建成一颗真正的树之后，我们就可以在 O(\log n)O(logn) 的时间内求到任意区间内的答案，我们甚至可以修改序列中的值，做一些简单的维护，之后仍然可以在 O(\log n)O(logn) 的时间内求到任意区间内的答案，对于大规模查询的情况下，这种方法的优势便体现了出来。这棵树就是上文提及的一种神奇的数据结构——线段树。

class Solution {
public:
    struct status {int lsum, rsum, msum, isum;};
    status push_up(status l, status r){
        status mystatus;
        mystatus.isum = l.isum + r.isum;
        mystatus.lsum = max(l.lsum, l.isum + r.lsum);
        mystatus.rsum = max(r.rsum, r.isum + l.rsum);
        mystatus.msum = max(max(l.msum, r.msum), l.rsum + r.lsum);
        return mystatus;
    }
    status get(vector<int> &nums, int l, int r){
        if(l == r) return (status){nums[l], nums[l], nums[l], nums[l]};
        int mid = (l + r) / 2;
        status lstatus = get(nums, l, mid);
        status rstatus = get(nums, mid + 1, r);
        return push_up(lstatus, rstatus);
    }
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        return get(nums, 0, nums.size() - 1).msum;
    }
};