映射与函数

小K算法

发布于 2021-05-31 11:16:09

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1.映射

X,Y

为非空集合，如果存在法则

，对

中每个元素

中有唯一元素

与之对应，则称

为从

到

的映射, 记作

f:X \rightarrow Y

，

称为

的像，并记作

f(x)

，即

y=f(x)

，

称为

的原像。

为定义域，记作

D_f

，

为值域，记作

R_f

或

f(X)

，即

R_f=f(X)=\{f(x)|x \in X\}

。

概念	定义
单射	, 如果, 则
满射	，即至少存在一个与对应。
双射	既是单射，又是满射，则称为一一映射(双射)。

\forall x_1,x_2\in X

, 如果

x_1\neq x_2

, 则

f(x_1)\neq f(x_2)

满射

\forall y\in Y, \exists x, y=f(x)

，即至少存在一个

与

对应。双射既是单射，又是满射，则称

为一一映射(双射)。

注：

\forall

：代表任意，

\exists

：代表存在

如下图：

2.逆映射

设

为单射，可定义新映射

，

g:R_f\rightarrow X

，对每个

y\in R_f

，规定

g(y)=x

，这

满足

f(x)=y

。则称

g为f

的逆映射，记作

f^{-1}

其定义域

D_{f^{-1}}=R_f

，值域

R_{f^{-1}}=X

如下图：

3.复合映射

设有2个映射

g:X\rightarrow Y_1

，

f:Y_2\rightarrow Z

，

Y_1\subset Y_2

定义一个从

到

的对应法则，它将每个

x\in X

映成

f[g(x)]\in Z

。称该映射为

和

构成的复合映射，记作

f\circ g

，即

f\circ g: X\rightarrow Z, (f\circ g)(x)=f[g(x)], x\in X

如下图：

4.函数

设数集

D\subset \textbf{R}

，则称映射

f:D\rightarrow \textbf{R}

为定义在

上的函数，简记为

y=f(x),x\in D

，

x,y,D

分别称为自变量，因变量，定义域。函数值

f(x)

全体所构成集合称为函数

的值域，记作

R_f

或

f(D)

，即

R_f=f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}.

5.常见函数

绝对值函数：图5-1

(1)y =|x|= \left\{ \begin{array}{l} -x & if\ x<0\\ x & if\ x \geq 0 \end{array} \right.

符号函数：图5-2

(2)y =|x|= \left\{ \begin{array}{l} -1 & if\ x<0\\ 0 & if\ x = 0\\ 1 & if\ x>0 \end{array} \right.

取整函数：图5-3

(3)y=[x]

如下图（常见函数）：

6.函数特性

6.1有界性

设函数

f(x)

的定义域为D，数集

X\subset D

。

如果存在数

K_1

，使得对

\forall x

，

f(x)\leq K_1

成立，则称函数

f(x)

在

上有上界

K_1

；

如果存在数

K_2

，使得对

\forall x

，

f(x)\geq K_2

成立，则称函数

f(x)

在

上有下界

K_2

；

如果存在数

，使得对

\forall x

，

|f(x)|\leq M

成立，则称函数

f(x)

在

上有界。

6.2单调性

设函数

f(x)

的定义域为

，区间

I\subset D

。

如果对区间

中

\forall x_1,x_2

，当

x_1 < x_2

时，恒有

f(x_1)< f(x_2)

, 则称

f(x)

在区间

上单调增加（图6-1）。

如果对区间

中

\forall x_1,x_2

，当

x_1 < x_2

时，恒有

f(x_1)>f(x_2)

, 则称

f(x)

在区间

上单调减少（图6-2）。

6.3奇偶性

设函数

f(x)

的定义域

关于原点对称。

如果对

\forall x\in D

，

f(x)=f(-x)

恒成立，称

f(x)

为偶函数（图6-3）。

如果对

\forall x\in D

，

f(-x)=-f(x)

恒成立，称

f(x)

为奇函数（图6-4）。

6.4周期性

设函数

f(x)

的定义域为

。如果存在一正数

，使得对

\forall x\in D

有

(x\pm l)\in D

，且

f(x+l)=f(x)

恒成立，称

f(x)

为周期函数，

称为

f(x)

的周期（图6-5）。

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原始发表：2020-12-16，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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