取石子游戏，用博弈论教你如何必胜

小K算法

发布于 2021-05-31 11:20:45

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1.游戏规则

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子(至少取1个)。

每次有两种不同的取法，规则如下： 1.一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；

2.二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。

最后把石子全部取完者为胜者，假设双方都采取最好的策略，给定初始数量，你是否有必胜的把握？

2.分析

为方便描述，设

f[x,y]

表示两堆石子数量分别为

x,y

，且你先取。 1.

f[x,y]=1

表示必胜 2.

f[x,y]=0

表示必败 3.石堆没有顺序优先级，所以

f[x,y]=f[y,x]

2.1首先分析3种特殊情况

1.两堆石子数量一样，两堆都取

个，必胜，得

f[n,n]=1

2.只有一堆石子，一堆取

个，必胜，得

f[n,0]=f[0,n]=1

3.石子数量为

f[2,1]

，只能取(1,0),(2,0),(1,1)，剩下石子为(1,1),(0,1),(1,0)对方都能胜，所以必败，得

f[2,1]=f[1,2]=0

，称此为奇异局势(必败局势)。

2.2列出前面的几种情况如下：

可以得到如下规律：

奇异局势有

f[2,1],f[5,3],f[7,4],f[10,6],\cdots

，必败

蓝色为先取的数量，一次就可以将状态转为奇异局势，必胜

f[x+1,x],f[1,x],f[2,x]

都可以转为

f[2,1]

，必胜

f[x+2,x],f[3,x],f[5,x]

都可以转为

f[5,3]

，必胜

f[x+k,x]

可以转化为

f[x_1,y_1],x_1-y_1=k

的奇异局势，而且

f[x_1,x],f[y_1,x]

也可以转化为

f[x_1,y_1]

即奇异局势为

f[x,y],|x-y|=1,2,3,4,\cdots,x,y\in N_+

，且

x,y不能重复出现

结论：如果两个人都采取最优策略，面对非奇异局势，先拿必胜；面对奇异局势，后拿必胜。

3.理论推广

这个其实是经典的威佐夫博弈问题，但首先我们先介绍另一个定理，贝蒂定理。

3.1贝蒂定理

设

a,b

是正无理数，且

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1

。记

P=\{[na]|n \in N_+\},Q=\{[nb]|n \in N_+\}

，(

[x]

为取整函数)。则

P,Q

是

N_+

的一个划分，

P\cap Q=\varnothing,P\cup Q=N_+

。

证明如下

1.任一个整数至多在集合P或Q中出现一次。

a,b>0,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1,\Longrightarrow a,b>1

，对于不同整数

n,[na],[nb]

各不相同。

2.

P\cap Q=\varnothing

(反证法)

假设

k\in P\cap Q,k\in N_+

，则存在正整数

m,n

使得

[ma]=[nb]=k

，即

k< ma,nb< k+1,\Longrightarrow

\frac{m}{k+1}< \frac{1}{a}< \frac{m}{k}

，

\frac{n}{k+1}< \frac{1}{b}< \frac{n}{k}

，两式相加得

\frac{m+n}{k+1}< 1 < \frac{m+n}{k},\Longrightarrow k< m+n< k+1

，与

m,n

为整数矛盾。

3.

P\cup Q=N_+

(反证法)

假设

k\in N_+,k\notin P\cup Q,

，则存在正整数

m,n

使得

[ma]< k < [(m+1)a],[nb]< k < [(n+1)b]

，由此得

ma < k \leq [ (m+1)a]-1< (m+1)a -1

(因为a是无理数)，类似有

nb < k \leq [ (n+1)b]-1< (n+1)b -1,\Longrightarrow

\frac{m}{k}< \frac{1}{a}< \frac{m+1}{k+1},\frac{n}{k}< \frac{1}{b}< \frac{n+1}{k+1}

，两式相加得

\frac{m+n}{k}< 1< \frac{m+n+2}{k+1},\Longrightarrow m+n< k< k+1< m+n+2

，与

m,n,k

为整数矛盾。

3.2回归威佐夫问题

设奇异局势构成的序列组为

s_n=(a_n,b_n)

，

s_n

即为通项公式，可以看出

s_n

是一个贝蒂序列。设

a_n=[na],b_n=[nb]

，因为

b_n=a_n+n=[an]+n=[(a+1)n]=[bn]

，即

a+1=b

。代入

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1

，得

a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}

。即

a_n=\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}n\right],b_n=a_n+n

。而

n=\left[\frac{\sqrt{5}-1}{2}a_n\right]

。

3.3如何快速判断

给定一个局势

(x,y),x< y

，得

n=y-x

，如果

x==\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}n\right]

，则是奇异局势，否则不是。

3.4例题

poj1067：http://poj.org/problem?id=1067

3.5代码实现

const double q = (1 + sqrt(5.0)) / 2.0;

bool isWythoff(int a, int b) {

    int t;
    if (a > b) t = a, a = b, b = t;
    return (int) ((b - a) * q) == a;

}

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