数值模拟—稳态解存在的证明

有限元方法从最小势能原理出发（假定体系势能最小的时候，系统处于稳定状态），把网格节点位移作为自变量，求取在外界激励作用下使得系统势能最小的一组最优节点位移。然而，使用有限元软件（ANSYS、ABAQUS等）求解具体工程问题时，你是否想过为何求解过程（大多数情况）能够收敛，计算得到的结果又是否唯一呢？

类比生活中的现象，例如：自然界中生长的植物通过改变自身形状（树木分叉现象），进而能够接受更多的太阳能，直观上可以表征为，树木生长过程中新分裂的细胞在空间中如何分布能够获得最大收益，我们能否从数学上进行证明？

查找相关资料，了解到相关学者通过不动点定理对该问题进行了回答，例如：多位诺贝尔经济学奖获得者运用不动点定理（1972、1983、1994年），严格地证明一个方程式系统解的存在性，进而表征了特定均衡状态的存在性。

No.1

不动点定理的应用

不动点理论在动力学方程、运筹学、博弈论（Nash均衡）、控制论、优化论、经济学（Walrasian平衡点）等领域具有广泛的应用，能够分析非线性微分方程、非线性积分方程以及泛函微分方程其解的存在性和唯一性。数学上证明涉及较多的理论基础，本推文定性的描述不动点在生活中的应用。

场景一：一张圆形垫纸铺在圆形蛋糕底部，现把垫纸拿出来揉成一团，再扔进礼盒，则至少存在一点，折叠后(x,y)坐标没有变化；

场景二：咖啡搅动过程中，总有一点是不动的（如下图所示）；

场景三：把地图扔到地上，地图上总有一点位于真实地点的正上方。

纵使从数学上能够证明稳定状态肯定存在，要如何求得这种状态呢，本推文从最简单的例子出发，利用直接迭代的方式，采用数值方法的到最优解。

function [y] = FixedPointIter(x0,func,tol,MaxIter) 

xn = x0;
fprintf('Iter  0: %16.14f\n',x0);
xnp1 = func(xn);
fprintf('Iter  1: %16.14f\n',xnp1);
criterion = abs(xnp1-xn);
xn = xnp1;
Iter = 1; 
while(criterion>tol) 
xnp1 = func(xn);
criterion = abs(xnp1-xn);
xn = xnp1;
Iter = Iter + 1;
fprintf('Iter %2.0d: %16.14f\n',Iter,xnp1);
if Iter>=MaxIter 
break; 
end
end 
y = xnp1;
end

附录一：不动点定理的数学语言表述及证明

定理一：（介质定理）（绳子折叠）

一维度布劳威尔（Brouwer）定理：设[a,b]为R的有界闭区间，f(x)是从[a,b]射到[a,b]内的连续映射，则至少有一点为之不动点（即至少存在一点，使得f(m)=m，m属于[a,b]）

定理二：（有限维、凸集）

多维时候f(m)=m依然满足，不过需要添加约束为二范数小于等于1（备注：无穷维不动点定理一般不存在）。

定理三：压缩映像定理：（有且仅有一个不动点）

压缩映射定理定义：设（X,d）是一度量空间，A:X➡X是一映射，若存在正常数K<1,使得d（Ax,Ay）小于等于kd(x,y)，则称A是压缩映射

定理四：Banach压缩映射定理：

设A为完备的度量空间（X,d）的压缩映射，则在X中存在A的唯一的不动点；

附录二：纳什均衡的理解

均衡表明事物处于平衡或稳定状态，在自然界中具有重要的意义，例如：生物系统、化学和物理系统，甚至是社会系统，无不在寻求稳态，可以掌握事物的发展趋势。

“均衡点”，意味着其它玩家不改变策略时，均衡点为最优解。

摘自：纳什均衡与博弈论