Toeplitz矩阵和循环矩阵

hotarugali

发布于 2022-03-11 20:09:34

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1. Toeplitz 矩阵

1.1 定义

Toeplitz（特普利茨）矩阵又称为常对角矩阵，该矩阵每条左上至右下的对角线均为常数。Toeplitz 矩阵 A 为满足以下条件的矩阵：

\begin{array}{c} A_{ij} = A_{i+1,j+1} \end{array}

其一般形式为：

\begin{array}{c} A = \left[ \begin{matrix} a_0 & a_{-1} & \cdots & a_{-(n-1)} \\ a_{1} & a_0 & \cdots & a_{-(n-2)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_0 \end{matrix} \right] \end{array}

2. 循环矩阵

2.1 定义

循环矩阵是一种特殊的 Toeplitz 矩阵，其列向量 / 行向量的每个元素都是前一个列向量 / 行向量个元素循环右移一个位置的结果。循环矩阵 C 的一般形式为：

\begin{array}{c} C = \left[ \begin{matrix} c_0 & c_{n-1} & \cdots & c_{1} \\ c_{1} & c_0 & \cdots & c_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n-1} & c_{n-2} & \cdots & c_0 \end{matrix} \right] \end{array}

若循环矩阵 C 还满足：

\begin{array}{c} c_{n-i} = c_i , \ \ 0 \lt i \lt n \end{array}

则矩阵 C 称为对称循环矩阵。

2.2 性质

若 A,B 为两个循环矩阵，则 A+B,AB 都是循环矩阵，且

\begin{array}{c} AB = BA \end{array}

证明：AB = BA 定义向量 \boldsymbol{v} 的反转向量为 \tilde{\boldsymbol{v}} ，其元素序列为原向量 \boldsymbol{v} 的反转。

则易知以下式子成立：

\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2) = (\tilde{\boldsymbol{v}_2}, \tilde{\boldsymbol{v}_1}) \end{array}

即两个向量的内积等于它们反转向量的内积。

定义向量 \boldsymbol{v} 的循环右移 i 个位置（i 为负数则表示循环左移 -i 个位置）的向量为 \boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}} ，易知 \boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}} 的反转向量

\begin{array}{c} \tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{i}{\rightarrow}} = \boldsymbol{v}^{\overset{-i}{\rightarrow}} \end{array}

2. 易知对于任意整数 c ，均有以下等式成立：

\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i+c}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j+c}{\rightarrow}}_2) \end{array}

要证明原命题，易知只需证明：

\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_1) \end{array}

由以上性质可知：

\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2, \tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1) = (\boldsymbol{v}^{\overset{-j}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{-i}{\rightarrow}}_1) = (\boldsymbol{v}^{\overset{-j+i+j}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{-i+i+j}{\rightarrow}}_1) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_1) \end{array}

循环矩阵的特征向量矩阵是同样维数的离散傅立叶变换矩阵。

3. 分块 Toeplitz / 循环矩阵

3.1 定义

对于分块矩阵

\begin{array}{c} A = \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1N} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{M1} & A_{M2} & \cdots & A_{MN} \end{matrix} \right] \end{array}

其中A_{ij} 为子矩阵。如果矩阵 A 相对于子矩阵元素 A_{ij} 构成 Toeplitz / 循环矩阵，则称矩阵 A 为 分块 Toeplitz / 循环矩阵。

4. 双重分块 Toeplitz / 循环矩阵

对于分块 Toeplitz / 循环矩阵 A ，如果其子矩阵 A_{ij} 也是 Toeplitz / 循环矩阵，则称矩阵 A 为 双重分块 Toeplitz / 循环矩阵。

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原始发表：2020-10-24，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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