马尔可夫不等式

hotarugali

发布于 2022-03-18 17:51:22

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1. 简介

在概率论中，马尔可夫不等式（Markov’s Inequality）给出了随机变量大于等于某正数的概率上界。马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量累计分布函数一个宽泛但仍有用的上界。

2. 定义

假设 X 是一个非负的随机变量，常数 a \gt 0，则有以下马尔可夫不等式：

\begin{array}{c} P(\boldsymbol{X} \geq a) \leq \frac{E(\boldsymbol{X})}{a} \end{array}

证明根据期望函数的定义：

\begin{array}{c} E(\boldsymbol{X}) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \mathrm{d}x \end{array}

由于 X是非负的随机变量，因此：

\begin{array}{rl} E(\boldsymbol{X}) & = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} xf(x) \mathrm{d}x \\ & = \int_{0}^{a} xf(x) \mathrm{d}x + \int_{a}^{\infty} xf(x) \mathrm{d}x \\ & \geq \int_{0}^{\infty} xf(x) \mathrm{d}x \\ & \geq \int_{a}^{\infty} af(x) \mathrm{d}x \\ & = a P(\boldsymbol{X} \geq a) \end{array}

从而证得：

\begin{array}{c} P(\boldsymbol{X} \geq a) \leq \frac{E(\boldsymbol{X})}{a} \end{array}

3. 推论

3.1 切比雪夫不等式

将马尔可夫不等式中非负的随机变量 X 替换成 (\boldsymbol{X} - E(\boldsymbol{X}))^2，正常数 a写成 a^2（a≥0），则得到切比雪夫不等式：

\begin{array}{c} P((\boldsymbol{X} - E(\boldsymbol{X}))^2 \geq a^2) \leq \frac{Var(\boldsymbol{X})}{a^2} \\ \Downarrow \\ P(|\boldsymbol{X} - E(\boldsymbol{X})| \geq a) \leq \frac{Var(\boldsymbol{X})}{a^2} \end{array}

3.2 分位函数

对于一个非负的随机变量 X，它的分位函数 Q_{\boldsymbol{X}} 满足以下不等式：

\begin{array}{c} Q_{\boldsymbol{X}}(1-p) \leq \frac{E(\boldsymbol{X})}{p} \end{array}

证明

\begin{array}{c} p \leq 1 - P(\boldsymbol{X} \lt Q_{\boldsymbol{X}}(1-p)) = P(\boldsymbol{X} \geq Q_{\boldsymbol{X}}(1-p)) \leq \frac{E(\boldsymbol{X})}{Q_{\boldsymbol{X}}(1-p)} \end{array}

附录

参考资料：

Markov’s inequality

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原始发表：2021-07-18，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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