二项分布期望和方差推导

marsggbo

发布于 2022-05-11 16:56:49

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若随机变量X 服从二项分布,即X\sim B(n,p) ，则有P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} ，其均值和方差分别是

E(X)=np

D(X)=np(1-p)

之前学二项分布的时候看到它的期望和方差觉得形式很简单，就没怎么细看推导过程。但是自己去推导的时候发现也没那么简单。。。本文做个总结

二项分布期望

整个推导过程如下

\begin{align} E(k) &=\sum_{k=0}^{n} k p(k) \\ &=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k} q^{n-k} \\ &=n p \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1) !}{(k-1) !(n-k) !} p^{k-1} q^{\frac{(\mathrm{n}-1)-(\mathrm{k}-1)}{}=(n-k)} \\ &=n p \end{align}

第1到第3行应该很好理解，不过需要注意的是第3行的下标从 k=1 开始了，因为k=0 时值为0所以省略了。
第4行：把排列组合展开了
第5行：令q=1-p
第6行：这是整个推导过程magic所在。为更加方便理解，对于式(6)右边那一坨

\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}

，我们可以做一下换元，即令z=k-1,m=n-1 ，注意原式的k取值范围是k\in[1,n] ,那么z的取值范围应该就是z\in[0,n-1] ，所以换元后式(6)变形得到\sum_{z=0}^{m}\frac{m!}{z!(m-z)!}p^zq^{m-z} ,这就是二项分布概率累加，其结果为1。

二项分布方差

D(X)=E[X-EX]^2=E[X^2-2XEX+(EX^2)]注意EX 可视为一个常数，所以E[2XEX]=2EX E[X]=2(EX)^2 ，同理E[(EX)^2]=(EX)^2 ，综上 D(X)=EX^2-(EX)^2 下面我们只需要在计算EX^2 即可，推导过程如下：

\begin{align} E\left(k^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{n} k^{2} p(k) \\ &=\sum_{k=1}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n}[\mathrm{k}(\mathrm{k}-1)+\mathrm{k}]\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k}+\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1) \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k} q^{n-k}+n p \\ &=n(n-1) p^{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-2) !}{(k-2) !(n-k) !} p^{k-2} q^{(n-2)-(k-2)}+n p \\ &=n(n-1) p^{2}+n p \end{align}

所以DX=EX^2-(EX)^2=n(n-1) p^{2}+np-(np)^2=np(1-p)

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