三角形的重心_三角形重心的六条性质

1. 重心的概念 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部如图，G为△ABC的重心 永远存在 证明：如图，已知CF、BE为中线，求证：AD为中线 过B作BH//CF，则G为AH中点 又因为E为中点，所以EG为△ACH的中位线，则EG//CH 所以四边形CGBH为平行四边形，则由平行四边形对角线互相平分得BD=CD
2. 重心的性质 基本性质 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2 证明1 由共边定理得 由蝴蝶定理得 于是有 由共边定理得\displaystyle \frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2 同理可推得其他边的关系 证明2 连接DE，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线\frac{1}{2}得2倍 推论1 设G是\triangle ABC中一点，若\displaystyle S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}，则G为\triangle ABC的重心 证明 由共边定理（燕尾模型）得\displaystyle \frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1，即G为\triangle ABC中点 同理可证其他中点 推论2 G为\triangle ABC的重心，若AG^2+BG^2=CG^2，则AD ⊥ BE 证明 倍长中线，得平行且MG=CG，AG=BM，所以\displaystyle \angle MBG = 90^{\circ} G为\triangle ABCD的重心，若AD ⊥ BE，则AG^2+BG^2=CG^2 证明 由垂直得勾股关系，又由直角三角形斜边中线定理得AB=CG，即可得证 推论3 G为\triangle ABC中点，过G作DE //BC，PF//AC，KH//AB，则\displaystyle \frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}=\frac{2}{3} 证明 连AG并延长至M交BC于M，则M为BC中点 由DG//CB得\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3} 由相似得\displaystyle \frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB} 推论4 G为边长为a的等边三角形ABC的中点，则\displaystyle GA=GB=GC=\frac{\sqrt{3}}{3}a 证明 等边三角形四心合一点，得△ABG为30°、30°、120°型三角形，边之比为1:1:\sqrt{3}，故\displaystyle GA=\frac{AB}{\sqrt{3}}

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