日拱一卒，麻省理工的线性代数课，矩阵空间和秩一矩阵

TechFlow-承志

发布于 2022-09-21 09:59:24

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文章被收录于专栏：TechFlowTechFlow

作者 | 梁唐

出品 | 公众号：Coder梁（ID：Coder_LT）

大家好，日拱一卒，我是梁唐。

今天我们继续来学习麻省理工的线性代数课，今天是系列第11节课，内容承接上文末尾的矩阵空间。很抱歉，最近由于诸事缠身，更新频率有所降低，我会努力调整，尽量提高更新速度的。

矩阵空间

上一节内容末尾处，我们研究了一种特殊的空间，它由矩阵构成，也同样符合向量空间的定义，这样的空间称为矩阵空间。

比如，我们将所有3 x 3矩阵的集合记作

，我们来考虑

的维数。根据定义维数是基中向量的个数，针对

我们可以很容易写出它的一组基：

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\

所以

dim(M)=9

。

我们假设

是所有3 x 3的对称矩阵的集合，

是3 x 3的上三角矩阵的集合，

是3 x 3对角矩阵的集合。根据定义，我们可以得到

dim(S) = 6, dim(U) = 6, dim(D) = 3

。

我们还可以进一步求出

S \cap U

和

S \cup U

。

根据矩阵空间的定义，我们可以知道上三角矩阵和对称矩阵的交集为对角矩阵。所以

S \cap U = D, dim(S\cap U) = 3

。

我们再来看

S \cup U

，所有对称矩阵和上三角矩阵的线性组合，可以得到所有的3 x 3矩阵，即

。所以

dim(S\cup U)=9

。

从这里我们又可以得出：

dim(S) + dim(U) = dim(S\cap U) + dim(S\cup U)=12

我们再来看另外一个例子：

\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \rightarrow y'' + y = 0

方程的解有：

y = \cos x, y = \sin x, y = e^{ix}, y = e^{-ix}

等，其中

e^{ix} = \cos x + i \sin x, e^{-ix} = \cos x - i\sin x

所以，方程的所有解可以写成：

y = c_1 \cos x + c_2 \sin x

对应零空间的一组基是

\sin x, \cos x

，零空间的维度为2。

秩一矩阵

我们来看一个矩阵

：

A=\begin{bmatrix}1&4&5\\2&8&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4&5\end{bmatrix}

对于矩阵

我们可以知道，它的秩为1，

dim(C(A)) = 1, dim(C(A^T)) = 1

。所有的秩一矩阵都可以转化成向量相乘的形式：

A = uv^T

，这里的

和

都是列向量。

任何矩阵都可以通过若干个秩一矩阵组合得到，有些像是积木。比如对于5 x 17秩为4的矩阵，只需要4个秩一矩阵就可以组合得到。

令

代表所有5 x 17的矩阵集合，

中秩为4的矩阵组成的集合并不是一个子空间。因为通常两个秩为4的矩阵相加得到的矩阵秩不一定为4。

我们来看一个例子，在

\mathbb{R}^4

空间中有向量

v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{bmatrix}

。取

\mathbb{R}^4

中满足

v_1+v_2+v_3+v_4=0

的所有向量组成一个向量空间

，则

是一个向量子空间。

等价于矩阵

A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}

的零空间，很明显

rank(A)=1

，

dim(N(A)) = n - r = 3

。所以

的维数也是3.

我们利用一下上节课讲的知识可以写出

的四种基本子空间：

dim(C(A))=1, dim(C(A^T))=1

,这两个非常明显。再来看看

N(A)

，我们知道它的维数是3，对应的一组基有3个向量：

\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\0\\1\end{bmatrix}

最后是左零空间，

dim(N(A^T))=0

，因为

A^T

没有非零解。

图论

这节课最后老师还讲了一点图论的知识。

在图论当中，图由点和边组成，边连接两个点。比如我们可以把人与人之间的认识关系看成是一张图，那么我们可以求出任意两个人之间需要通过多少人才能连通，把中间经过的人数称为距离。

教授举了个例子，他和克林顿之间的距离是2，因为他的一个朋友认识克林顿。这下所有这节课上的学生和克林顿的距离都不会超过3了。

根据六度连接理论，通常来说，任意两个人之间的距离都不会超过6。

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原始发表：2022-07-28，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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