leetcode刷题（128）——1575. 统计所有可行路径，动态规划解法

leetcode刷题（127）——1575. 统计所有可行路径，DFS解法

给你一个 互不相同 的整数数组，其中 locationsi 表示第 i 个城市的位置。同时给你 start，finish 和 fuel 分别表示出发城市、目的地城市和你初始拥有的汽油总量

每一步中，如果你在城市 i ，你可以选择任意一个城市 j ，满足 j != i 且 0 <= j < locations.length ，并移动到城市 j 。从城市 i 移动到 j 消耗的汽油量为 |locationsi - locationsj|，|x| 表示 x 的绝对值。

请注意， fuel 任何时刻都 不能 为负，且你 可以 经过任意城市超过一次（包括 start 和 finish ）。

请你返回从 start 到 finish 所有可能路径的数目。

由于答案可能很大， 请将它对 10^9 + 7 取余后返回。

示例 1：

输入：locations = [2,3,6,8,4], start = 1, finish = 3, fuel = 5
输出：4
解释：以下为所有可能路径，每一条都用了 5 单位的汽油：
1 -> 3
1 -> 2 -> 3
1 -> 4 -> 3
1 -> 4 -> 2 -> 3

示例 2：

输入：locations = [4,3,1], start = 1, finish = 0, fuel = 6
输出：5
解释：以下为所有可能的路径：
1 -> 0，使用汽油量为 fuel = 1
1 -> 2 -> 0，使用汽油量为 fuel = 5
1 -> 2 -> 1 -> 0，使用汽油量为 fuel = 5
1 -> 0 -> 1 -> 0，使用汽油量为 fuel = 3
1 -> 0 -> 1 -> 0 -> 1 -> 0，使用汽油量为 fuel = 5

示例 3：

输入：locations = [5,2,1], start = 0, finish = 2, fuel = 3
输出：0
解释：没有办法只用 3 单位的汽油从 0 到达 2 。因为最短路径需要 4 单位的汽油。

提示：

2 <= locations.length <= 100

1 <= locationsi <= 109

所有 locations 中的整数 互不相同 。

0 <= start, finish < locations.length

1 <= fuel <= 200

动态规划

DFS 方法签名设计：

int dfs(int[] ls, int u, int end, int fuel) {}

其中，ls 参数和 end 参数分别代表源输入的 locations 和 finish，在整个 DFS 过程都不会变化，属于不变参数。

而 u 参数和 fuel 参数则是代表了 DFS 过程中的当前位置和当前油量，属于变化参数。

因此我们可以定一个 f 二维数组，来分别表示两个可变参数。

第一维代表当前位置（对应 locations 数组的下标），第二维代表当前剩余油量。

二维数组中存储的就是我们的 DFS 方法的返回值（路径数量）。

同时结合题意，不难得知维度的取值范围：

第一维的取值范围为 [0,locations.length)

第二维的取值范围为0,fuel

做完这一步的”翻译“工作，我们就得到了「动态规划」的「状态定义」了。

fi 代表从位置 出发，当前剩余油量为 的前提下，到达目的地的路径数量。

不知道你是否发现，这个「状态定义」和我们「记忆化搜索」中的缓存器的定义是一致的。

接下来我们要从 DFS 中”翻译“出「状态转移方程」。

所谓的「状态转移方程」其实就是指如何从一个状态转移到另外一个状态。

而我们的 DFS 主逻辑就是完成这个转移的。

DFS 中的主逻辑很简单：枚举所有的位置，看从当前位置 出发，可以到达的位置有哪些。

于是我们很容易就可以得出状态转移方程：

fi = fi + fk

k 代表计算位置 i 油量 fuel 的状态时枚举的「下一位置」，need 代表从 i 到达 k 需要的油量。

从状态转移方程可以发现，在计算 fi 的时候依赖于 fk。

其中 i 和 k 并无严格的大小关系，而 fuel 和 fuel - need 具有严格的大小关系（fuel>=fuel-need）。

因此我们需要先从小到大枚举油量这一维。

class Solution {
    int mod = 1000000007;
    public int countRoutes(int[] ls, int start, int end, int fuel) {
        int n = ls.length;

        // f[i][j] 代表从位置 i 出发，当前油量为 j 时，到达目的地的路径数
        int[][] f = new int[n][fuel + 1];
        
        // 对于本身位置就在目的地的状态，路径数为 1
        for (int i = 0; i <= fuel; i++) f[end][i] = 1;

        // 从状态转移方程可以发现 f[i][fuel]=f[i][fuel]+f[k][fuel-need]
        // 在计算 f[i][fuel] 的时候依赖于 f[k][fuel-need]
        // 其中 i 和 k 并无严格的大小关系
        // 而 fuel 和 fuel-need 具有严格大小关系：fuel >= fuel-need
        // 因此需要先从小到大枚举油量
        for (int cur = 0; cur <= fuel; cur++) {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int k = 0; k < n; k++) {
                    if (i != k) {
                        int need = Math.abs(ls[i] - ls[k]);
                        if (cur >= need) {
                            f[i][cur] += f[k][cur-need];
                            f[i][cur] %= mod;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return f[start][fuel];
    }
}

至此，我们只利用 DFS 的方法签名与主逻辑，就写出了「动态规划」解法。

我再帮你来总结一下这个过程：

1. 从 DFS 方法签名出发。分析哪些入参是可变的，将其作为 DP 数组的维度；将返回值作为 DP 数组的存储值。
2. 从 DFS 的主逻辑可以抽象中单个状态的计算方法。

其中第一点对应了「动态规划」的「状态定义」，第二点对应了「动态规划」的「状态方程转移」。

到目前为止，我们已经掌握了两种求解「动态规划」问题的方法：

1. 根据经验猜一个「状态定义」，然后根据「状态定义」去推导一个「状态转移方程」。
2. 先写一个「记忆化搜索」解法，再将「记忆化搜索」改写成「动态规划」。

能够去猜「状态定义」或者使用「记忆化搜索」求解，都有一个大前提：问题本身具有无效性。

由于「动态规划」的状态定义猜测，是一门很讲求经验的技能。

因此对于那些你接触过的模型，我建议你使用第一种方式；

如果遇到一道你从来没接触过的题目时，我建议你先想想「记忆化搜索」该如何实现，然后反推出「动态规划」。

这里说的想想「记忆化搜索」该如何实现，不需要真正动手实现一个「记忆化搜索」解法，而只需要想清楚，如果使用「记忆化搜索」的话，我的 DFS 函数签名如何设计即可。

当搞清楚「记忆化搜索」的函数签名设计之后，「状态定义」部分基本就已经出来了，之后的「状态转移方程」就还是一样的分析方法。

当然，如果你觉得「记忆化搜索」更好实现的话，大可直接使用「记忆化搜索」求解，不一定需要将其转化为「动态规划」。

因为由「记忆化搜索」直接转过来的「动态规划」，两者复杂度是一样的。而且通常「记忆化搜索」的实现难度通常要低很多。