贝塞尔方程与贝塞尔函数学习笔记

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

《数学物理方法（顾樵）》第13章学习笔记

第一节 几个微分方程的引入

• 三维波动方程： ∂ 2 v ∂ t 2 = a 2 ( ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 ) ≡ a 2 ∇ 2 v \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = a^2 (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}) \equiv a^2 \nabla^2 v ∂t2∂2v​=a2(∂x2∂2v​+∂y2∂2v​+∂z2∂2v​)≡a2∇2v
• 三维热传导方程： ∂ v ∂ t = a 2 ( ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 ) ≡ a 2 ∇ 2 v \frac{\partial v}{\partial t} = a^2 (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}) \equiv a^2 \nabla^2 v ∂t∂v​=a2(∂x2∂2v​+∂y2∂2v​+∂z2∂2v​)≡a2∇2v

对三维波动方程与三维热传导方程使用分离变量法，得到时间上的方程，以及空间上的名为亥姆霍兹方程的方程。

• 亥姆霍兹方程： ∇ 2 u ( r ) + k 2 u ( r ) = 0 \nabla^2 u(\pmb r) + k^2u(\pmb r) = 0 ∇2u(rrr)+k2u(rrr)=0

将亥姆霍兹方程变换到球坐标上，再次应用分离变量法，得到以半径为自变量的球贝塞尔方程，以及以半径与 z z z 轴夹角为自变量再经变量代换得到的连带勒让德方程。 球贝塞尔方程中设定特殊值，可以得到欧拉方程。 连带勒让德方程中设定特殊值，可以得到勒让德方程。

• 球贝塞尔方程： d d r ( r 2 d R d r ) + ( k 2 r 2 − w 2 ) R = 0 \frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR}{dr})+(k^2r^2-w^2)R = 0 drd​(r2drdR​)+(k2r2−w2)R=0
• 连带勒让德方程： d d r [ ( 1 − x 2 ) d y d x ] + ( w 2 − m 2 1 − x 2 ) y = 0 \frac{d}{dr}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+(w^2-\frac{m^2}{1-x^2})y = 0 drd​[(1−x2)dxdy​]+(w2−1−x2m2​)y=0
• 欧拉方程： d d r ( r 2 d R d r ) − w 2 R = 0 \frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR}{dr})-w^2R = 0 drd​(r2drdR​)−w2R=0
• 勒让德方程： d d r [ ( 1 − x 2 ) d y d x ] + w 2 y = 0 \frac{d}{dr}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+w^2y = 0 drd​[(1−x2)dxdy​]+w2y=0

将亥姆霍兹方程变换到柱坐标上，再次应用分离变量法，得到以半径为自变量的方程，进一步应用变量代换，得到贝塞尔方程。

• 贝塞尔方程： x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − m 2 ) y = 0 x^2\frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 -m^2)y = 0 x2dx2d2y​+xdxdy​+(x2−m2)y=0

这些方程也可以直接通过施图姆-刘维尔型方程引入。 d d x [ k ( x ) d y d x ] − q ( x ) y + λ ρ ( x ) y = 0 \frac{d}{dx}[k(x)\frac{dy}{dx}]-q(x)y+\lambda \rho(x)y = 0 dxd​[k(x)dxdy​]−q(x)y+λρ(x)y=0 所以对于这些函数的本征函数集，可以通过施图姆-刘维尔型方程的结论验证正交性。

第二节 伽马函数的基本知识

• 定义 Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ e − t t x − 1 d t ( x > 0 ) \Gamma(x)=\int ^\infty _0 e^{-t}t^{x-1}dt\ \ \ \ (x>0) Γ(x)=∫0∞​e−ttx−1dt (x>0)
• 基本性质

当n比较大的时候，使用变量代换，可得到斯特林公式： n ! ≈ 2 π n n n e − n n!\approx \sqrt{2\pi n}n^n e^{-n} n!≈2πn ​nne−n

第三节 求解贝塞尔方程

使用 Frobenius方法 得到级数形式的解的系数的方程，进而得到第一类贝塞尔函数。 贝塞尔方程的通解有两种形式。 在讨论贝塞尔方程通解的第二种形式的时候，利用第一类贝塞尔方程构造得到第二类 v v v阶贝塞尔函数（也称 诺依曼函数 ）。

• v v v阶第一类贝塞尔函数： J v ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! Γ ( m + v + 1 ) ( x 2 ) 2 m + v J_v(x)=\sum^\infty _{m=0}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+v+1)}(\frac{x}{2})^{2m+v} Jv​(x)=m=0∑∞​m!Γ(m+v+1)(−1)m​(2x​)2m+v
• 诺依曼函数 Y v ( x ) = { J v ( x ) cos ⁡ v π − J − v ( x ) sin ⁡ v π v ∉ Z lim ⁡ α → v J α ( x ) cos ⁡ α π − J − α ( x ) sin ⁡ α π v ∈ Z Y_v(x)=\begin{dcases} \frac{J_v(x)\cos v\pi-J_{-v}(x)}{\sin v\pi}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v \notin \mathbb{Z} \\ \\ \lim_{\alpha \to v}\frac{J_\alpha(x)\cos \alpha\pi-J_{-\alpha}(x)}{\sin \alpha\pi}\ \ \ \ v \in \mathbb{Z}\\ \end{dcases} Yv​(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​sinvπJv​(x)cosvπ−J−v​(x)​ v∈/​Zα→vlim​sinαπJα​(x)cosαπ−J−α​(x)​ v∈Z​

两个补充： Y n ( x ) = 2 π ( ln ⁡ x 2 + γ ) J n ( x ) − 1 π ∑ k = 0 n − 1 ( n − l − 1 ) ! k ! ( x 2 ) 2 k − n − 1 π ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k k ! ( n + k ) ! [ Φ ( k ) + Φ ( n + k ) ] ( x 2 ) 2 k + n \begin{aligned}Y_n(x)=&\frac{2}{\pi}(\ln\frac{x}{2}+\gamma)J_n(x)\\ &-\frac{1}{\pi}\sum^{n-1}_{k=0}\frac{(n-l-1)!}{k!}(\frac{x}{2})^{2k-n}\\&-\frac{1}{\pi}\sum^{n-1}_{k=0}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}[\Phi(k)+\Phi(n+k)](\frac{x}{2})^{2k+n}\end{aligned} Yn​(x)=​π2​(ln2x​+γ)Jn​(x)−π1​k=0∑n−1​k!(n−l−1)!​(2x​)2k−n−π1​k=0∑n−1​k!(n+k)!(−1)k​[Φ(k)+Φ(n+k)](2x​)2k+n​ Y n ( x ) = 1 π ∫ 0 π sin ⁡ ( x sin ⁡ θ − n θ ) d θ − 1 π ∫ 0 ∞ [ e n t + ( − 1 ) n e − n t ] e − x sinh ⁡ t d t \begin{aligned}Y_n(x)=&\frac{1}{\pi}\int ^{\pi} _{0} \sin (x\sin \theta-n\theta)d\theta \\ &-\frac{1}{\pi}\int ^{\infty} _{0}[e^{nt}+(-1)^n e^{-nt}]e^{-x\sinh t}dt\end{aligned} Yn​(x)=​π1​∫0π​sin(xsinθ−nθ)dθ−π1​∫0∞​[ent+(−1)ne−nt]e−xsinhtdt​ 其中： Φ ( n ) = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n , Φ ( 0 ) = 0 γ = lim ⁡ n → ∞ ( Φ ( n ) − ln ⁡ n ) = 0.577 \begin{aligned}\Phi(n)&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}, \ \ \ \ \Phi(0)=0\\ \gamma&=\lim _{n\to \infty} (\Phi(n)-\ln n)=0.577\end{aligned} Φ(n)γ​=1+21​+31​+...+n1​, Φ(0)=0=n→∞lim​(Φ(n)−lnn)=0.577​

第四节 贝塞尔函数的基本性质

• 生成函数：该函数的级数展开式的系数是贝塞尔函数。 整数阶贝塞尔函数 J n ( x ) J_n(x) Jn​(x) 的生成函数： exp ⁡ [ x 2 ( r − 1 r ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ J n ( x ) r n \exp [\frac{x}{2}(r-\frac{1}{r})]=\sum^{\infty}_{n=-\infty}J_n(x)r^n exp[2x​(r−r1​)]=n=−∞∑∞​Jn​(x)rn
• 性质

• 整数阶贝塞尔函数积分形式 有两种方法得到其积分形式。 一是根据生成函数在复数域上的解析函数，由其洛朗级数系数在特殊闭合回路上得到。 二是由同样的解析函数出发，在某个特殊闭合回路上将函数展开，通过比较等号左右两边的形式，结合三角函数的正交性，再通过三角函数公式得到积分形式。 J n = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ ( x sin ⁡ θ − n θ ) d θ ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) J_n=\frac{1}{\pi}\int ^\pi _0 \cos (x\sin \theta-n\theta)d\theta\ \ \ \ (n=0,\pm1, \pm2,…) Jn​=π1​∫0π​cos(xsinθ−nθ)dθ (n=0,±1,±2,...)
• 整数阶贝塞尔函数渐进公式 使用稳定相方法获取其渐进公式： J n ( x ) ≈ 2 π x cos ⁡ ( x − π 4 − n π 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) J_n(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x-\frac{\pi}{4}-\frac{n\pi}{2})\ \ \ \ (n=0,1,2,…) Jn​(x)≈πx2​ ​cos(x−4π​−2nπ​) (n=0,1,2,...)

第五节 贝塞尔函数的正交完备性

1. 类比 正弦函数集 S m ( x ) = sin ⁡ ( m π x ) S_m(x)=\sin(m\pi x) Sm​(x)=sin(mπx)，构建正交的贝塞尔函数集。
2. 结合参数形式的贝塞尔函数集 J v ( λ x ) J_v(\lambda x) Jv​(λx) 的性质，在区间 [ 0 , a ] [0,a] [0,a] 上证明 正交性： ∫ 0 a x J v ( λ v m x ) J v ( λ v k x ) d x = 0 ( m ≠ k ) \int_0^a xJ_v(\lambda_{vm}x)J_v(\lambda_{vk}x)dx=0\ \ \ \ (m\ne k) ∫0a​xJv​(λvm​x)Jv​(λvk​x)dx=0 (m​=k) 并计算模值： ∫ 0 a x J v 2 ( λ v m x ) d x = a 2 2 J v + 1 2 ( μ v m ) ( m = 1 , 2 , . . . ) \int_0^a xJ^2_v(\lambda_{vm}x)dx=\frac{a^2}{2}J^2_{v+1}(\mu_{vm})\ \ \ \ (m=1,2,…) ∫0a​xJv2​(λvm​x)dx=2a2​Jv+12​(μvm​) (m=1,2,...)
3. 完备性： f ( x ) = ∑ m = 1 ∞ A m J v ( λ v m x ) f(x)=\sum^\infty _{m=1} A_mJ_v(\lambda_{vm}x) f(x)=m=1∑∞​Am​Jv​(λvm​x) A m = 2 [ a J v + 1 ( μ v m ) ] 2 ∫ 0 a x J v ( λ v m x ) f ( x ) d x A_m=\frac{2}{[aJ_{v+1}(\mu_{vm})]^2}\int^a_0 xJ_v(\lambda_{vm}x)f(x)dx Am​=[aJv+1​(μvm​)]22​∫0a​xJv​(λvm​x)f(x)dx

贝塞尔级数在间断点处的收敛性由狄利克雷定理确定。

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