每日一练6.14

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:32:55

4970

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接力题典 1800 级数

第二节幂级数的收敛半径以及收敛域

51.求幂级数

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}

的收敛域。

解：根据

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=1

，所以收敛半径为

R=1

，

当

x=-1

时，有

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(-1)^{n}}{n}=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

,显然发散；

当

x=1

时，有

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(1)^{n}}{n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}

,收敛;

所以原级数的收敛域为

(-1,1]

52.求幂级数

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}x^{2n-2}

的收敛域。

解：由

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{2n+1}{2^{n+1}}/\frac{2n-1}{2^n}=\frac{1}{2}

，所以

收敛半径为

\sqrt{2}

，当

x=\pm \sqrt{2}

时，有

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}(\pm\sqrt{2})^{2n-2}=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)

，

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)

是发散的，所以级数的收敛域为

(-\sqrt{2},\sqrt{2})

。

53.求级数

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n^2}

解：令

x-1=t

，可得

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{t^n}{n^2}

,可知其收敛半径为

，

当

t=\pm 1

时，

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}|\frac{(\pm 1)^n}{n^2}|=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

收敛，所以原级数

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}|\frac{(\pm 1)^n}{n^2}

绝对收敛，所以

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{t^n}{n^2}

的收敛域是

[-1,1]

，

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n^2}

的收敛域是

[0,2]

。

54.求幂函数

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2^n+3^n)x^{n}}{n}

的收敛域。

解：根据

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{|u_{n}|}=3

，所以收敛半径为

\frac{1}{3}

，

当

x=-\frac{1}{3}

时，有

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2^n+3^n)}{n}\cdot(-\frac{1}{3})^{n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{1}{n}\cdot(-\frac{2}{3})^n+\frac{(-1)^n}{n}]

，收敛

当

s=\frac{1}{3}

时，

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2^n+3^n)}{n}\cdot(\frac{1}{3})^{n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{2}{3})^n+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

而

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

是发散的，所以级数的收敛半径为

[-\frac{1}{3},\frac{1}{3})

。

好了，今天的题目就到这里了，主要就是求收敛域的几种判别法，注意多加练习，一般根据不同的类型选择不同的方法，再进行讨论。有问题欢迎留言。

写作日期：6.14

作者：小熊

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原始发表：2021-06-15，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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