考研（大学）数学极限与连续（5）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:21:38

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极限与连续（5）

基础

设

f\left( x \right) =\dfrac{\ln\text{|}x|}{|x-1|}\sin x

，求

f\left( x \right)

的间断点以及分类。

解：

x=1,0

是其间断点；

\begin{align*}\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f\left( x \right) &=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\ln\text{|}x|}{|x-1|}\sin x=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{\ln|x|}{\dfrac{1}{x}}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}}=0\end{align*}

；即

x=0

是其可去间断点。

\begin{align*}\underset{x\rightarrow 1^-}{\lim}f\left( x \right) &=\underset{x\rightarrow 1^-}{\lim}\dfrac{\ln x}{1-x}\sin 1=\sin 1\underset{x\rightarrow 1^-}{\cdot \lim}\dfrac{\ln \left( 1+\left( x-1 \right) \right)}{1-x}\\&=-\sin 1\end{align*}

，同理

\underset{x\rightarrow 1^+}{\lim}f\left( x \right) =\underset{x\rightarrow 1^+}{\lim}\dfrac{\ln x}{x-1}\sin 1=\underset{x\rightarrow 1^+}{\lim}\dfrac{\ln \left( 1+x-1 \right)}{x-1}\sin 1=\sin 1

，因为

f\left( 1-0 \right) \ne f\left( 1+0 \right)

，故

x=1

是跳跃间断点。

解题思路：首先判断函数的间断点是那些，根据

\ln

函数以及分母不为

就可以得出，其次就是极限的计算，对于

这个，凑一个等价无穷小，然后就洛必达法则的应用。第二个要分左右极限来做，其次用到的就是凑等价无穷小，技巧要自己去练.

讨论函数

f\left( x \right) =\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{\ln \left( e^n+x^n \right)}{n}\left( x >0 \right)

的连续性。

解：当

x\in \left( 0,e \right)

时，

f\left( x \right) =\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{\ln \left( e^n+x^n \right)}{n}=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{n+\ln \left( 1+\dfrac{x^n}{e^n} \right)}{n}=1

，当

x=e

时，

f\left( e \right) =1

，当

x\in \left( e,\infty \right)

，

f\left( x \right) =\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{\ln \left( e^n+x^n \right)}{n}=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{n\ln x+\ln \left( 1+\dfrac{e^n}{x^n} \right)}{n}=\ln x

，故

f\left( x \right) =\begin{cases}1& 0 < x\le e,\\\ln x& x >e,\\\end{cases}

f\left( e-0 \right) =1=f\left( e+0 \right)

，所以

f\left( x \right)

是连续的。

解题思路：首先要求函数的表达式，首先看到

与

的关系，对

分区间进行讨论，然后提出因式，直接极限放大取小，有个结论可以直接用，谁大取谁，后面算出的函数之后，再用函数的连续性直接判断。实质就做左右极限与函数值大小关系。

提高

设

f\left( x \right)

在

\left[ a,+\infty \right)

上连续，且

\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}f\left( x \right)

存在，证明：

f\left( x \right)

在

\left[ a,+\infty \right)

上有界。

解：设

\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}f\left( x \right) =A

，取

\xi _n=1

，由极限的定义，可知存在

X_0 > 0

，当想

x > X_0

时，

|f\left( x \right) -A| < 1

，从而有

|f\left( x \right) |<|A|+1

，

f\left( x \right)

在

\left[ a,X_0 \right]

上连续，则存在

k > 0

，使得

|f\left( x \right) |\le k

，取

M={|A|+1,k }

，即对任意的

x\in \left[ a,+\infty \right)

，均有

f\left( x \right) < k

。

解题思路：首先由极限的存在的定义出发，可知定义判断极限，由不等式解决

f(x)

的一部分区间的上的有界的问题，剩下的部分由连续函数的性质，直接得出函数的部分有界，再取两者之间的较大者，

f\left( x \right)

必定有界。

作者：小熊

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