LeetCode 刷题笔记——day 3

h-t-m

发布于 2022-11-24 16:53:12

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LeetCode 刷题笔记——day 3

4. 寻找两个正序数组的中位数

难度：困难

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

示例 3：

输入：nums1 = [0,0], nums2 = [0,0]
输出：0.00000

示例 4：

输入：nums1 = [], nums2 = [1]
输出：1.00000

示例 5：

输入：nums1 = [2], nums2 = []
输出：2.00000

提示：

nums1.length == m
nums2.length == n
0 <= m <= 1000
0 <= n <= 1000
1 <= m + n <= 2000
-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

我的答案：

大致思路就是把两个数组合并到一个新数组里，然后对这个数组进行排序，最后直接求中位数即可，粗暴。虽然通过了力扣测试，但并没有达到时间复杂度的要求。

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int a = nums1.size();
        int b = nums2.size();

        vector<int> nums(a + b);
        int i = 0;
        for(; i < a; i++) {
            nums[i] = nums1[i];
        }
        for(; i < a + b; i++) {
            nums[i] = nums2[i - a];
        }

        for(int i = 0; i < a + b; i++) {
            for(int j = i; j < a + b; j++) {
                if(nums[i] > nums[j]) {
                    int temp = nums[i];
                    nums[i] = nums[j];
                    nums[j] = temp;
                }
            }
        }

        if((a + b) % 2) {
            return (double)nums[(a + b) / 2];
        } else {
            return (double)(nums[(a + b) / 2] + nums[(a + b) / 2 - 1]) / 2.0;
        }
    }
};

执行用时: 236 ms
内存消耗: 87.3 MB

官方答案

二分查找

在题解中，又给我们引入了新的方法：二分查找。

根据中位数的定义，当 m+n 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/22 个元素，当 m+n 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素和第 (m+n)/2+1 个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数，其中 k 为 (m+n)/2 或 (m+n)/2+1。假设两个有序数组分别是 A 和 B。要找到第 k 个元素，我们可以比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1]，其中 / 表示整数除法。由于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 的前面分别有 A[0 ~ k/2−2] 和 B[0 ~ k/2−2]，即 k/2−1 个元素，对于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 中的较小值，最多只会有 (k/2−1)+(k/2−1)≤k−2 个元素比它小，那么它就不能是第 k 小的数了。因此我们可以归纳出三种情况：

如果 A[k/2−1]<B[k/2−1]，则比 A[k/2−1] 小的数最多只有 A 的前 k/2−1 个数和 B 的前 k/2−1 个数，即比 A[k/2−1] 小的数最多只有 k−2 个，因此 A[k/2−1] 不可能是第 k 个数，A[0] 到 A[k/2−1] 也都不可能是第 k 个数，可以全部排除。
如果 A[k/2−1]>B[k/2−1]，则可以排除 B[0] 到 B[k/2−1]。
如果 A[k/2−1]=B[k/2−1]，则可以归入第一种情况处理。

可以看到，比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 之后，可以排除 k/2 个不可能是第 k 小的数，查找范围缩小了一半。同时，我们将在排除后的新数组上继续进行二分查找，并且根据我们排除数的个数，减少 k 的值，这是因为我们排除的数都不大于第 k 小的数。有以下三种情况需要特殊处理：

如果 A[k/2−1] 或者 B[k/2−1] 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 k 的值，而不能直接将 k 减去 k/2。
如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，我们可以直接返回另一个数组中第 k 小的元素。
如果 k=1，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。

用一个例子说明上述算法。假设两个有序数组如下：

A: 1 3 4 9
B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

两个有序数组的长度分别是 4 和 9，长度之和是 13，中位数是两个有序数组中的第 7 个元素，因此需要找到第 k=7 个元素。比较两个有序数组中下标为 k/2−1=2 的数，即 A[2] 和 B[2]，如下面所示：

A: 1 3 4 9
       ↑
B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
       ↑

由于 A[2]>B[2]，因此排除 B[0] 到 B[2]，即数组 B 的下标偏移（offset）变为 3，同时更新 k 的值：k=k−k/2=4。下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 k/2−1=1 的数，即 A[1] 和 B[4]，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。

A: 1 3 4 9
     ↑
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9
             ↑

由于 A[1]<B[4]，因此排除 A[0] 到 A[1]，即数组 A 的下标偏移变为 2，同时更新 k 的值：k=k−k/2=2。下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 k/2−1=0 的数，即比较 A[2] 和 B[3]，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。

A: [1 3] 4 9
         ↑
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9
           ↑

由于 A[2]=B[3]，根据之前的规则，排除 A 中的元素，因此排除 A[2]，即数组 A 的下标偏移变为 3，同时更新 k 的值： k=k−k/2=1。由于 k 的值变成 1，因此比较两个有序数组中的未排除下标范围内的第一个数，其中较小的数即为第 k 个数，由于 A[3]>B[3]，因此第 k 个数是 B[3]=4。

A: [1 3 4] 9
           ↑
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9
           ↑

作者：LeetCode-Solution

研读了题解之后，我又重新更改了一遍代码：

class Solution {
public:
    int getNum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2, int k) {
        int a = nums1.size();
        int b = nums2.size();
        int index1 = 0, index2 = 0;

        while(1) {
            if(index1 == a) {
                return nums2[index2 + k - 1];
            }
            if(index2 == b) {
                return nums1[index1 + k - 1];
            }
            if(k == 1) {
                return min(nums1[index1], nums2[index2]);
            }

            int newind1 = min(index1 + k / 2 - 1, a - 1);
            int newind2 = min(index2 + k / 2 - 1, b - 1);

            if(nums1[newind1] <= nums2[newind2]) {
                k -= newind1 - index1 + 1;
                index1 = newind1 + 1;
            } else {
                k -= newind2 - index2 + 1;
                index2 = newind2 + 1;
            }
        }
    }

    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int len = nums1.size() + nums2.size();
        if(len % 2) {
            return getNum(nums1, nums2, len / 2 + 1);
        } else {
            return (getNum(nums1, nums2, len / 2) + getNum(nums1, nums2, len / 2 + 1)) / 2.0;
        }
    }
};

执行用时: 20 ms
内存消耗: 86.9 MB

虽然代码理论复杂了不少，但不可否认的是，运行快了很多。

用 Java 再次练习了一遍：

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len = nums1.length + nums2.length;
        if(len % 2 == 1) {
            return getNum(nums1, nums2, len / 2 + 1);
        } else {
            return (getNum(nums1, nums2, len / 2) + getNum(nums1, nums2, len / 2 + 1)) / 2.0;
        }
    }

    public int getNum(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
        int a = nums1.length;
        int b = nums2.length;
        int index1 = 0, index2 = 0;

        while(true) {
            if(index1 == a) {
                return nums2[index2 - 1 + k];
            }
            if(index2 == b) {
                return nums1[index1 - 1 + k];
            }
            if(k == 1) {
                return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);
            }

            int newind1 = Math.min(index1 + k / 2 - 1, a - 1);
            int newind2 = Math.min(index2 + k / 2 - 1, b - 1);

            if(nums1[newind1] <= nums2[newind2]) {
                k -= newind1 - index1 + 1;
                index1 = newind1 + 1;
            } else {
                k -= newind2 - index2 + 1;
                index2 = newind2 + 1;
            }
        }
    }
}

执行用时: 3 ms
内存消耗: 39.4 MB

这里挖个坑，为什么相同代码 Java 的内存消耗和执行用时都比 C++ 要小好多？

划分数组

在这道题的官方题解中，还提到了第二种方法： 划分数组。

说明方法一的时间复杂度已经很优秀了，但本题存在时间复杂度更低的一种方法。这里给出推导过程，勇于挑战自己的读者可以进行尝试。 思路与算法 为了使用划分的方法解决这个问题，需要理解「中位数的作用是什么」。在统计中，中位数被用来：将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。如果理解了中位数的划分作用，就很接近答案了。

作者：LeetCode-Solution

再次用 C++ 练习了一下这个方法：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        if(nums1.size() > nums2.size()) {
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        }

        int a = nums1.size();
        int b = nums2.size();
        int left = 0, right = a;
        int medmax = 0, medmin = 0;

        while(left <= right) {
            int i = (left + right) / 2;
            int j = (a + b + 1) / 2 - i;

            int med_in1 = i == 0 ? INT_MIN : nums1[i-1];
            int med_in2 = j == 0 ? INT_MIN : nums2[j-1];
            int med_ax1 = i == a ? INT_MAX : nums1[i];
            int med_ax2 = j == b ? INT_MAX : nums2[j];

            if(med_in1 <= med_ax2) {
                medmax = max(med_in1, med_in2);
                medmin = min(med_ax1, med_ax2);
                left = i + 1;
            } else {
                right = i - 1;
            }
        }

        return (a + b) % 2 == 0 ? (medmax + medmin) / 2.0 : medmax;
    }
};

执行用时: 28 ms
内存消耗: 86.7 MB