程序员数学基础【七、等比数列 棋盘麦粒】

题干：

根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：请您在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒，以此类推，直到最后一个格子，第64格放满为止。

赏给我这么多数目的麦粒，我就十分满足了．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了． 然而等到麦子成熟时，国王才发现，全印度的麦子竟然连棋盘一半的格子数目都填不满． 

现在我们来帮助国王计算一下，想要填满64格棋盘，到底需要多少麦粒。实际上这是一个等比数列求和问题。棋盘的第一格只需要麦粒a1=1，第二个需要麦粒a2=2，第3格a3=4，等等，这些麦粒的数量构成一个首项a1=1，公比q=2的等比数列。那么要求64格棋盘的总麦粒数。

再观察对比这两个等式，发现它们有很多相同的指数幂，所以可以把两个等式相减来化简，我们用2式减1式，等号左边相减，2S64-S64，等号右边相减，这些相同的指数幂会消掉，最后留下来的，只有2^64，减去1.所以能得到棋盘上的总麦粒数S64，等于264-1，这是一个天文数字，相当于全世界2000年的小麦产量。

【Python暴力解法】

#定义一个变量来保存总的麦子数量，开始为0
c=0
#定义一个变量，循环1-64，来代表每一个格子
i=1
#假设每个格子中的麦子数量为x,初始也是1
x=1
#循环
while i<=64:
    c += x    #总数累计上这一个格子的麦粒数
    i += 1    #下一个格子
    x = x*2   #下一个格子的麦粒数是这一个格子的2倍
#显示结果
print("64个格子，总的麦粒数量为：",c)

上面计算麦粒的方法，对任何一个q不等于1的等比数列求和，都是适用的。等比数列的前n项和Sn，=a1+a2+...+an，我们用a1和q来表示。

错位相减法不仅适合于等比数列的求和，更多的时候，如果一个数列的通项形式，可以表示成，一个等差数列与一个等比数列的乘积时，那么都可以用错位相减法来求前n项和。至于等比数列想要求和，只要直接套公式就可以。

远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中，下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有几盏灯？

每层塔所挂的灯的数量形成一个等比数列，公比q=2，我们设塔的顶层有a1盏灯。7层塔一共挂了381盏灯，S7=381，按照等比求和公式，  那么有a1乘以1-2的7次方，除以1-2，等于381.能解出a1等于3.  尖头必有3盏灯。