【集合论】有序对 ( 有序对 | 有序三元组 | 有序 n 元祖 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 17:59:35

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一、有序对

有序对概念 :

<a, b> = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \}

其中

是第一个元素 ,

是第二个元素 ;

记做

<a, b>

, 也可以记做

(a , b)

理解 1 :

a, b

是有顺序的 , 单个元素的集合中的元素是第一个元素 , 两个元素集合中的另一个元素是第二个元素 ;

理解 2 ( 推荐 ) : 第一个元素出现在每个子集合中 , 第二个元素只出现在一个子集合中 , 通过这种方式 , 保证了有序对的定义 , 一前一后两个元素 , 前后顺序不同 , 对应的有序对不同 ;

下面是相同的两个元素的不同的有序对 :

有序对

<a, b> = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \}

有序对

<b, a> = \{ \{ b \} , \{ a , b \} \}

二、有序对性质的引理、定理

1. 引理 1 :

\{ x , a \} = \{ x, b \}

\Leftrightarrow

a=b

两个集合如果相等 , 当且仅当

a = b

;

2. 引理 2 : 若

\mathscr{A} = \mathscr{B} \not= \varnothing

, 则有

①

\bigcup \mathscr{A} = \bigcup \mathscr{B}

②

\bigcap \mathscr{A} = \bigcap \mathscr{B}

说明 : 集族

\mathscr{A}

与集族

\mathscr{B}

相等 , 并且两个集族都不为空 , 那么两个集族的广义交相等 , 两个集族的广义并也相等 ;

3. 定理 :

<a,b> = <c, d>

\Leftrightarrow

a = c \land b = d

通过上述定理 , 说明有序对是有顺序的 ;

4. 推论 :

a \not= b

\Rightarrow

<a,b> \not= <b, a>

三、有序三元组

有序三元组 :

<a, b, c> = < <a, b> , c >

有序三元组是有序二元组在前 , 第三个元素在后 , 组成的有序对 ;

有序

元祖 :

n \geq 2

<a_1, a_2, \cdots , a_n> = < <a_1, \cdots , a_{n-1}> , a_n >

先拿前

n-1

个元素组成一个有序

n-1

元祖 , 该

n-1

元祖在前 , 然后跟第

个元素

a_n

在后 , 构成有序对 ;

四、有序 n 元组性质定理

有序

元组性质定理 :

<a_1, a_2, \cdots , a_n> = <b_1, b_2, \cdots , b_n>

\Leftrightarrow

a_i = b_i , i = 1, 2, \cdots , n

说明 : 两个有序

元祖 , 每个对应位置上的元素两两相同 , 两个

元组有序对才相等 ;

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原始发表：2020-09-30，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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