微元法推导旋转体相关公式

最近学习了微元法（也叫元素法）在几何中的应用，就想推导一下中学学过的旋转体（圆锥，圆台，球）表面积和体积公式。其中，对于表面积，需要用到弧微分的知识，这里顺带记录一下。

弧微分

这里简要给出过程，虽然不是特别严谨，但理解起来容易就好。

对于上图可以得出：

圆锥

先来一个最简单的试试手。

体积

将其分割为无限多个圆柱，分别求出体积，然后用定积分可以求得公式：

侧面积

圆台

和圆锥的推导过程类似。

体积

侧面积

同样地，要使用弧微分：

球

这里给出两种方法，可以用参数方程最终对 θ\thetaθ 积分，也可以对 xxx 积分，权当练习。

写出圆的参数方程：

体积

可以不用参数方程，直接求：

表面积

虽然第一个方法不对 θ积分，但还是借用了一下参数方程列关系式：

参数方程，也是从 π 到 0 积：