信号上升边与系统带宽

电磁干扰无处不在，每个设计人员又必须面对。为了有效抑制，通常要从解决信号完整性问题入手。本内容摘录自《信号完整性与电源完整性分析》，从时域由浅入深的过渡到频域，并从此角度阐述了信号上升边与系统带宽的内在联系。紫色文字是超链接，点击自动跳转至相关博文。

目录：

一、时域

二、频域中的正弦波

三、正弦波的特征

四、傅里叶变换★

五、重复信号的频谱

六、理想方波的频谱

七、从频域逆变换到时域

八、带宽对上升边的影响

九、上升边与带宽★

十、“有效”的含义

十一、带宽★

1、实际信号的带宽

2、时钟频率与带宽

3、测量的带宽

4、模型的带宽

5、互连的带宽

一、时域

时域是真实世界，是唯一实际存在的域。 时域就是我们经历的现实世界，高速数字产品运行于其中。当评估数字产品的性能时，通常在时域中进行分析。因为产品的性能最终要在时域中测量。

例如，时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升边，图1.1说明了这些特征。图中标明了1GHz时钟信号的时钟周期和10%～90%上升边。下降边一般要比上升边短一些，有时还会引起更多的噪声。

图1.1 典型的时钟波形

二、频域中的正弦波

频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的法则，即正弦波是频域的语言。

工程师们通常选择在频域中使用正弦波，是因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。这是正弦波的一个非常重要的性质。然而，它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。

事实上，正弦波有如下4个性质，使其能够很有效地描述其他任一波形：

①时域中的任何波形都可由正弦波的组合完全且唯一地描述。

②任何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互分离开。

③正弦波有完美的数学定义。

④正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。现实世界是无穷的，因此可用正弦波描述现实中的波形。

对于信号完整性中经常遇到的各种类型的电气问题，有时利用正弦波能够更快地得到满意的答案。

看看表征互连的电路，会发现这些电路常常包括电阻器、电感器和电容器的组合。电路中的这些元件可以用二阶线性微分方程描述，而这类微分方程的解就是正弦波。在这类电路中，实际上产生的波形就是由上述微分方程解所对应的波形组合而成的。

在实际中，首先建立包含R、L、C的电路，并输入任意波形。很多情况下，会得到类似正弦波的波形。而且，用几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形，如图2.1所示。

图2.1 快速边沿与理想RLC电路相互作用时的时域行为

在频域中理解和描述一些问题要比在时域中更容易。例如，带宽就是一个频域的概念，我们用它描述与信号、测量、模型或互连相关的最高有效正弦波频率分量。

三、正弦波的特征

正弦波在时域中的描述，用以下3项可以充分描述正弦波：频率、幅度和相位，而在频域中只表示为一个点。

图3.1 正弦波在时域与频域

​左图：时域中对正弦波的描述，它由1000多个电压-时间数据点组成。右图：频域中对正弦波的描述。可见，在时域中，唯一需要讨论的就是正弦波，需要识别的全部内容就是频率、幅度和相位。如果仅仅描述一个正弦波，只需要这3个量就能将其完整地加以刻画。

频率：用f来表示，单位Hz；正弦波的频率与角频率的关系式：ω = 2πf。希腊字母ω通常用来表示角频率，以rad/s度量。

幅度：中间值之上最大的波峰高度值。水平轴之下和水平轴之上的波峰值相等。对于理想的正弦波、直流值或平均值始终为零。

相位：给出在时间轴起点的波的起始位置。相位以圆周、弧度(rad)或度(°)为单位，一个圆周有360°。

若暂时忽略相位，在频域中绘制一个正弦波，仅需一个数据点，这就是要在频域中研究问题的关键原因。在时域中可能要用上千个电压-时间数据点表示波形，在频域中则变换为一个幅度-频率数据点。

对于若干个频率点，其幅值的集合称为频谱。每个时域波形的频谱都有其独特的模式，计算时域波形频谱的唯一方法就是傅里叶变换。

四、傅里叶变换★

运用频域的出发点就是能够将波形从时域变换到频域，用傅里叶变换可以做到这一点。如下3种傅里叶变化类型：

①傅里叶积分(FI)

②离散傅里叶变换(DFT)

③快速傅里叶变换(FFT)

傅里叶积分是一种将时域的理想数学表达变换成频域描述的数学技术。例如，若时域中的整个波形只是一个短脉冲，就可用傅里叶积分将它变换到频域中。 傅里叶积分是在整个时间轴上从负无穷大到正无穷大求积分，得到的结果是零频率到正无穷大频率上连续的频域函数。在这个区间内，每个连续的频率点都对应一个幅值。

图4.1 左图为1GHz时钟信号在时域中的一个周期，右图为其在频域中的表示

离散傅里叶变换是将波形变换到频域中。其中基本的假设就是原始的时域波形是周期的，它每隔T秒重复一次。与积分不同，此处只用到求和，通过简单的数学方法就能将任意一组数据变换到频域中。

快速傅里叶变换除了计算每个频率点幅度值的实际算法使用了快速矩阵代数学的技巧，它与离散傅里叶变换是完全一样的。这种快速算法只应用于时域中的数据点个数是2的整幂次的情况，如256点、512点或1024点。根据所计算电压点个数的多少，快速傅里叶变换的计算速度比普通傅里叶变换可以快100~10000倍。快速傅里叶变换只能对周期波形进行运算。

这三种算法是有区别的，但有着同样的用途——将时域波形变换成频域频谱。

在频域中，对波形的描述变为不同频率正弦波的集合。每个频率分量都有对应的幅度及相位。所有这些频率点及其幅度值的全集称为波形的频谱。

许多用法较简单的商用软件都能对输入的任意波形进行离散傅里叶变换或快速傅里叶变换计算。SPICE软件的每个版本都有一个称为.FOUR指令的函数，它可以生成任一个波形前9个频率分量的幅度。更先进的SPICE工具的大多数版本还能用DFT计算全套频率点和幅度值。Microsoft Excel有FFT功能，通常可在“工程插件”中找到。

五、重复信号的频谱

离散傅里叶变换或快速傅里叶变换是用于将实际波形从时域变换到频域的。对测量得到的任意波形，都能使用离散傅里叶变换，关键条件是该波形应是重复性，通常用大写字母F表示时域波形的重复频率。

图5.1 任何波形都可变成周期性的，快速傅里叶变换只能对周期波形进行运算

将波形的一段转换为重复波形时，可能会出现拼接不连续的现象。这种在接头处出现的非自然跳变，也会在离散傅里叶变换中产生拼接不连续现象。为了避免这个问题，通常采用加窗滤波器，以保证两头的电压在同一个值处连续。例如，汉明(Hamming)窗和汉宁(Hanning)窗就是实现这一功能的滤波器。

频谱中的正弦波频率应是重复频率的整倍数。若时钟频率为1GHz，离散傅里叶变换只有1GHz、2GHz、3GHz等正弦波分量。第一个正弦波频率称为1次谐波，第二个正弦波频率为2次谐波，以此类推。每个谐波都有不同的幅度和相位。所有谐波及其幅度的集合称为频谱。

每个谐波的实际幅度都由离散傅里叶变换计算的值加以确定，每个具体的波形都有其各自的频谱。

六、理想方波的频谱

理想方波是对称的，其占空比是50%，并且峰值为1V。

如果理想方波的重复频率为1GHz，其中频谱中的正弦波频率就是1GHz的整倍数。我们希望看到 f=1GHz、2GHz、3GHz等一些频率分量，但每个正弦波的幅度是多少呢？

所有偶次谐波（如2GHz、4GHz、6GHz）的幅度都为零，只有奇次谐波具有非零值。这是任何波形具备的特征，其波形的后半部分恰好是前半部分求反的结果。我们将这些波形称为反对称波形或奇对称波形。

奇次谐波的幅度An如下所示：

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其中n为谐波次数（为奇数）。

图6.1 ​时域和频域中的理想方波

占空比为50%并从0V跳变为1V的理想方波，其1次谐波的幅度为0.63V，3次谐波的幅度为0.21V，1001次谐波的幅度为0.00063V。要注意，当频率提高时，其幅度随着1/f的减小而减小。

还有一个特殊的频率点：0Hz。因为正弦波的均值为零，任何正弦波的组合也只能描述时域中均值为零的波形。如果容许一个直流偏移，即波形的均值为非零值，直流分量就放在零频率点上。有时也称为0次谐波，其幅度与信号的均值相等(有效值/峰-峰值/幅值/瞬时值)。在方波占空比为 50% 的情况下，0次谐波的幅度为0.5V。

归纳起来如下:

·正弦波频率分量及其幅度的集合称为频谱，每一分量称为谐波；

·0次谐波就是直流分量值；

·对于理想方波占空比为50%这一特殊情况，偶次谐波的幅度为零；

·任何谐波的幅度都可由2/(nπ)计算得出。

七、从频域逆变换到时域

在频域中，频谱表示时域波形包含的所有正弦波频率幅度。如果知道频谱，要想观察它的时域波形，则只需将每个频率分量逆变换成它的时域正弦波，再将其全部叠加即可。这个过程为傅里叶逆变换。

图7.1 ​把以上每个正弦分量相叠加，即可将频谱转化为时域波形

对于1GHz理想方波的频谱，第一项是0次谐波，其幅度为0.5V。这个分量描述了时域中的直流常量。

第二次分量是1次谐波，在时域中是频率为1GHz且幅度为0.63V的正弦波。它与前一项叠加，在时域中得到均值偏移为0.5V的正弦波。它并不是对理想方波的很好的近似。

接下来加入3次谐波。3GHz正弦波频率分量的幅度为0.21V，把它与现有时域波形叠加，会发现新波形的形状发生了细微变化：顶端更平滑，更接近方波，且上升边更短。以此类推，将所有相继的高次谐波与已有波形相叠加，得出的结论越来越像方波。值得注意的是，时域波形的上升边随着加入高次谐波而变化。

图7.1 对于1GHz理想方波，叠加0次谐波、1次谐波，接着加入3次谐波时形成的时域波形

​图7.2 对于1GHz理想方波，依次叠加各次谐波生成的时域波形

首先是0次谐波和1次谐波，再加上3次谐波、7次谐波、19次谐波，最后一直加到31次谐波。

八、带宽对上升边的影响

带宽用于表示频谱中最高的有效正弦波频率分量值。带宽的选择对时域波形的最短上升边有直接的影响。对于数字信号，带宽同样指的是信号频谱中的频率范围。只不过对于数字信号而言，低频范围起始于直流分量并延伸到最高频率分量。在数字信号领域，因为最低频率是直流，所以带宽总是对应于最高的有效正弦波频率分量值。

一般而言，时域中上升边越短的波形在频域中的带宽就越高。如果改变频谱使波形的带宽降低，那么波形的上升边就会随之变长。

图8.1 ​FR4板上经过50Ω的传输线的衰减

这种选择性衰减使在互连中传播信号的带宽降低。图8.1的下图为上升边为50pS的信号进入FR4 板上36in长的传输线时，以及离开传输线时的波形。由于高频分量的衰减比较多，其上升边从50pS退化到1.5nS。

由于高频分量的衰减比较多，其上升边从50pS增大到近1.5nS。36in长的线条是常见的，如经过两个6in长的插卡和24in的背板，走线长度就是36in。在超过1GH的高速链接中不能使用FR4叠层的主要制约因素就是上升边退化。

一般而言，时域中上升边越短的波形在频域中的带宽就越高。如果改变频谱使波形的带宽降低，那么波形的上升边就会随之变长。

九、上升边与带宽★

在理想方波重新生成的过程中，所用带宽与其上升边之间的关系可以加以量化。在前面重新生成理想方波的示例中，每个合成波形对应的带宽是很明确的。因为每个波形都是通过加上某次谐波的正弦波频率分量而人为合成的。定义的10%~90%上升边，也可以从时域图中测量得到。

如果已知每个波形测量得到的10%~90%上升边和带宽凭实验数据就能画出一个简单的关系。如图9.1所示，这给出了一个基本关系式，对所有信号均适用。

图9.1 实验数据

对于重新生成方波这一具体示例，不断添加一些高次谐波，发现其带宽与上升边的倒数有关。我们将这些点用一条直线去拟合，可以得出带宽与上升边的关系为：

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其中，BW 表示带宽(单位GHz)，RT 表示10%~90%上升边(单位nS)

例如，若信号的上升边为1nS，则其带宽约为0.35GHz或350MHZ。同理若信号的带宽为3GHz，则上升边约为0.1nS。在基于DDR3的系统中信号的上升边可能为0.25nS，则其带宽为0.35/0.25nS = 1.4GHz。

对于其他波形，如高斯或指数边沿的波形，也可以用另一些方法得到这样的关系式。对于方波，采用的纯粹是实验途径，没有做任何假设。用这一实验公式表示的是一个非常有用的经验法则。

确保单位一致是非常重要的。如果上升边的单位是uS，那么带宽的单位就应是MHz。例如，对于10uS这样很长的上升边带宽就是0.35/10uS = 0.035MHz，即35KHz。

例如，当上升边的单位为nS时，带宽的单位为GHz。对于典型的10MHz的时钟信号，上升边一般为10nS，其带宽约为0.35/10nS = 0.035GHz，即35MHz。

十、“有效”的含义

信号的带宽定义为最高的有效正弦波频率分量。如果把带宽内的所有频率分量都包含在内，就可以重新生成其上升边有限的方波，这时上升边与带宽的关系为：上升边RT = 0.35/BW。

对于实际的时域波形，随着频率的升高，其频谱分量的幅度总是比理想方波中相同频率的幅度下降得快。有效性的问题其实就是一个频率点的问题，高于该点谐波分量的幅度比理想方波中相应频率分量的幅度要小。所谓的“小”，通常指的是该分量的功率要小于理想方波中相应频率分量的功率的50%，功率下降50%也就是幅度下降至70%。这才是有效性的真正定义。若幅度高于理想方波中相同谐波幅度的70%以上，则称为有效。

从另一个稍微不同的角度看，可以把有效定义为实际波形的谐波分量开始比1/f下降得更快的那个频率点，该频率也称为转折频率。

对照方波的频谱，再看看梯形波的实际频谱，可以看出两者1次和3次谐波大致相同，梯形波的5次谐波约为方波的70%，依然占了很大的一部分。然而，梯形波的7次谐波只有理想方波的30%。

通过对梯形波谱的考察就可以得出结论：

高于5次谐波分量（如7次谐波或更高）的幅度 ，只相当于理想方波中电压总量的很小一部分。因此，它们对于上升边的影响也是微乎其微。与理想方波相比，从频谱中可以看梯形波中最高的有效正弦波分量为5次谐波，这是近似得出。

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​上图：频率为1GHz的时域波形，理想方波和上升边为0.08nS的理想梯形波； 下图：从二者的频谱图中看出，与理想方波相比理想梯形波的较高次谐波急速下降。这也反映了上升边与带宽成反比，上升边越长，带宽越窄；上升边越长，含有的高频分量越少，高次谐波下降越快。

十一、带宽★

1、实际信号的带宽

接近于理想方波的高质量信号都有一个简单的特征，即如果传输线路的端接欠佳，则信号会发生振铃，频谱在振铃频率处出现峰值。振铃频率处的幅度会比没有振铃时的信号幅度高10倍以上。电磁干扰由电流中每个频率分量的辐射引起。最严重的辐射源是共模电流，其总辐射将随着频率而线性增加。

​图11.1.1

有振铃时的带宽明显高于没有振铃时的带宽。当波形中出现振铃时，其带宽约等于振铃频率。但是，若仅用这个带宽去表征振铃信号，则可能会引起误导。比较好的做法是考虑整个频谱。

电磁干扰由电流中每个频率分量的辐射引起。最严重的辐射源是共模电流，其总辐射将随着频率而线性增加。这说明，如果电流有理想方波的特性，则尽管各次谐波的幅度都以1/f速率下降，但是辐射能力仍会以速率f而上升。所以各次谐波对电磁干扰的影响都是相等的。为了减小电磁干扰，设计时应在所有信号中采用尽可能低的带宽。高于这个带宽时，谐波幅度就比1/f下降得快，对辐射的影响就会小一些。将带宽保持在最低值，辐射量就会保持在最小值。

电路中的振铃可能会使高频分量的幅度增大，并使其辐射的强度增大 10 倍。这就是为了减小电磁干扰，通常要从解决信号完整性问题入手的一个原因。

2、时钟频率与带宽

带宽与信号的上升沿直接有关。对于两个不同的波形，即使有相同的时钟频率，上升沿和带宽也很可能不同。

下图4个不同的波形，每个波形都有1 GHz的相同时钟频率。各个信号是上升沿不同，在周期中所占比例不同，因此它们的带宽也不同。需要注意的是，不是时钟频率而是上升沿决定带宽。如果只知道波形的时钟频率，无法确定其带宽。

​​图11.2.1

在实际的时钟波形中，上升沿与时钟周期有什么关系？两者之间的唯一约束是：上升沿一定小于周期的50%。

如果不知道上升边与周期的比值，则一个合理的经验是：上升边是时钟周期的7%。这与许多微处理器板和ASIC驱动板级总线的情况接近。

要记住，上升边是周期的7%的这个假设是具有挑战性的。许多系统更接近于10%，所以我们对上升边的假设要短于那些典型的情况。这样，上升边就被估得偏短了，带宽则被估得偏高了，而这比带宽被估低要安全得多。 带宽近似为0.35/上升边，而上升边则是周期的7%。又因为周期和频率互为倒数，所以可以给出两者之间的关系式，即带宽是时钟频率的5倍：

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其中，BWclock表示时钟带宽的近似值(单位GHz)，F表示时钟频率(单位GHz)。例如如果时钟频率是100MHz，则信号带宽就是500MHz。如果时钟频率是1GHz，则信号带宽就是5GHz。 根据上升边是时钟周期的7%这个假设，给出上述近似的推论。在这一假设的前提下，它是二个很有用的经验法则，通过它可以很容易地估算出带宽。或者说，时钟波形中典型的最高正弦波频率分量就是5次谐波。 显然，还是希望始终能直接用上升边估算带宽。然而很遗憾，并不是总能知道某个波形的上升边，而且可能这时又需要立即获得答案！

3、测量的带宽

从1 MHz到1GHz测量去耦电容器的阻抗，可以看出在10MHz以下时，阻抗表现为理想电容器，但在10MHz以上时，它就表现为理想电感器。在矢量网络分析仪的整个测量范围内（此例中达到1GHz），测量的带宽为1GHz。测量的带宽不同于元器件本身的可用带宽。

图11.3.1 C1206陶瓷去耦电容器的阻抗测量，数据的测量带宽为1GHz

4、模型的带宽

模型的带宽是指模型能被准确地用于预估实际结构真实性能的最高正弦波频率分量。

一个简单的初始电路模型由一个理想电感器和一个理想电阻器串联而成。2GHz之前，采用合适的L和R参数预估出的阻抗与实际测量的阻抗非常一致，所以这个简易模型的带宽就是2GHz。

​图11.4.1 ​两焊盘之间的键合线回路的示意图，其中返回路径在键合线下方约10mil处

超过2GHz采用带宽更高的模型，就能在更高频率上预估实际键合线的阻抗。这时就要考虑焊盘电容的影响，需要建立一个新模型，即二阶模型。

​图11.4.2

​上图：测量的阻抗与一阶模型仿真结果的对比。直到带宽为2GHz时二者非常吻合。 下图：测量的阻抗与二阶模型仿真结果的对比。直到带宽4GHz时二者非常吻合。此图由GigaTest Labs探针台测量得到，测量带宽为10GHz。

5、互连的带宽

互连的带宽是指能被互连传输且未造成有效损耗的最高正弦波频率分量。何谓“有效”在一些应用中，若传输的信号小于入射信号的95%，就认为是太小而失效，没法用了。而在其他情况中，传输的信号幅度小于入射信号的10%依然被认为是可用的。

在远距离电视电缆系统中，接收端甚至可以使用仅有源端功率1%的信号。很明显，传输的信号为多大才算是有效这个概念，与具体应用的技术条件密切相关。实际上，互连的带宽是指互连能够传输满足应用技术条件的最高正弦波频率分量。

一般而言，在实际中使用的“有效”指的是传输的频率分量幅度减少了3dB，也就是说幅度减少为入射值的70%。这就是经常提到的互连的3dB带宽。

​图11.5.1 ​不同频率的正弦波信号通过FR4板上的4in传输线测量的幅度值

对于此例中的这种横截面和材料特性，3dB带宽约为8GHz。此图由GigaTest Labs探针台测量得到。 对于互连带宽可以近似用下述场景加以阐释：如果理想方波传输通过该互连，则低于8GHz的各个正弦波分量都能被传输，传输前后的幅度大致相同；但高于8GHz的分量的幅度就会变得不再有效。 一个上升边为1pS的信号在经过互连传输后，其上升边可能为0.35/8GHz = 0.043nS，即43pS，这说明连使上升边退化了。

如果互连的带宽是1GHz，所能传输信号的最快边沿就是350pS，这就是互连的本征上升边。 如果一个边沿为 350pS的信号进人互连，那么它输出时的上升边是多少呢？这是个很微妙的问题。输出后的上升边可近似为下式：

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​其中，RTout表示输出信号的10%~90%上升边，RTin表示输入信号的10%~90%上升边，RTinterconnect表示互连的本征10%~90%上升边。这里假设射频谱和互连的响应频谱都对应于高斯形状的上升边。 例如，在4in长的互连中输入上升边为50pS的信号经传输后信号的上升边则为

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​与入射波上升边相比，传输后波形的上升边增大了约17pS。前面介绍的是在频域中的测量。图11.5.2所示为对于同一个4in长的50Ω连在时域中进行的测量。从图中可看出，与输入波形相比，输出波形从起点就有了时移，并一直延伸下去。 信号进入PCB走线时，波形的上升边是50pS；测量的输出波形10%~90%上升边是80pS。需要指出，这时实测的输出波形有着有损传输线的特征，其顶部有很长的拖尾失真。如果仔细比较在幅度同为70%处的附加时延，则仍然约为15pS。这与前面预估的非常接近。 如果上升边为1nS的信号进入本征上升边为0.1nS的互连，那么传输后的上升边约为(1nS+0.1nS)的平方根，即1.005nS，这基本上还是1nS，所以连对上升边没有影响。然而，如果互连的本征上升边是0.5nS，则输出的上升边将是1.1nS，这时连开始对上升边有明显的影响。

图11.5.2 经过FR4板上4in长的50Ω传输线，测得的输入和传输信号​

可以看出上升边发生了退化。输入的上升边是50pS，由互连带宽预估的输出上升边是67pS。此图由GigaTest Labs探针台测量得到。

要使互连对信号上升边造成的附加量不超过10%，互连的本征上升边就要小于该信号上升边的50%，这是个简单的经验法则。

从频域角度讲，为了较好地传输带宽为1GHz的信号，互连的带宽应至少为该信号带宽的2倍，即2GHz。

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