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宫水三叶的刷题日记

发布于 2024-05-13 16:48:19

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发布于 2024-05-13 16:48:19

文章被收录于专栏：宫水三叶的刷题日记

题目描述

平台：LeetCode

题号：799

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中第一层有 1 个玻璃杯，第二层有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

示例 1:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1

输出: 0.00000

解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1

输出: 0.50000

解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17

输出: 1.00000

提示:

0 <= poured <= 10^9

0 <= query_glass <= query_row < 100

线性 DP

为了方便，我们令 poured 为 k，query_row 和 query_glass 分别为

和

。

定义

f[i][j]

为第

行第

列杯子所经过的水的流量（而不是最终剩余的水量）。

起始我们有

f[0][0] = k

，最终答案为

\min(f[n][m], 1)

。

不失一般性考虑

f[i][j]

能够更新哪些状态：显然当

f[i][j]

不足

的时候，不会有水从杯子里溢出，即

f[i][j]

将不能更新其他状态；当

f[i][j]

大于

时，将会有

f[i][j] - 1

的水会等量留到下一行的杯子里，所流向的杯子分别是「第

i + 1

行第

列的杯子」和「第

i + 1

行第

j + 1

列的杯子」，增加流量均为

\frac{f[i][j] - 1}{2}

，即有

f[i + 1][j] += \frac{f[i][j] - 1}{2}

和

f[i + 1][j + 1] += \frac{f[i][j] - 1}{2}

。

Java 代码：

class Solution {
    public double champagneTower(int k, int n, int m) {
        double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
        f[0][0] = k;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (f[i][j] <= 1) continue;
                f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2;
                f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2;
            }
        }
        return Math.min(f[n][m], 1);
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    double champagneTower(int k, int n, int m) {
        vector<vector<double>> f(n + 10, vector<double>(n + 10, 0.0));
        f[0][0] = k;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                if (f[i][j] <= 1) continue;
                f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1.0) / 2.0;
                f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1.0) / 2.0;
            }
        }
        return min(f[n][m], 1.0);
    }
};

Python3 代码：

class Solution:
    def champagneTower(self, k: int, n: int, m: int) -> float:
        f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)]
        f[0][0] = k
        for i in range(n + 1):
            for j in range(i + 1):
                if f[i][j] <= 1:
                    continue
                f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2
                f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2
        return min(f[n][m], 1)

TypeScript 代码：

function champagneTower(k: number, n: number, m: number): number {
    const f = new Array<Array<number>>()
    for (let i = 0; i < n + 10; i++) f.push(new Array<number>(n + 10).fill(0))
    f[0][0] = k
    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        for (let j = 0; j <= i; j++) {
            if (f[i][j] <= 1) continue
            f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2
            f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2
        }
    }
    return Math.min(f[n][m], 1)
}