如何计算二维多边形的面积？
假设二维空间中的一系列不自相交的点，确定结果多边形的面积的有效方法是什么？
顺便说一句，这不是作业，我也不是在找代码。我正在寻找一种描述，我可以用来实现我自己的方法。我有从点列表中提取一系列三角形的想法，但我知道有一堆关于凸多边形和凹多边形的边缘情况，我可能无法捕捉到。
回答 16
Stack Overflow用户
发布于 2009-01-16 18:39:05
这是the standard method，AFAIK。基本上对每个顶点周围的叉积求和。比三角测量简单得多。
Python代码，给定一个表示为(x，y)顶点坐标列表的多边形，隐式地从最后一个顶点绕到第一个顶点：
def area(p):
return 0.5 * abs(sum(x0*y1 - x1*y0
for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(p)))
def segments(p):
return zip(p, p[1:] + [p[0]])David Lehavi评论:值得一提的是该算法的工作原理:它是函数−y和x的Green's theorem应用程序；与planimeter的工作方式完全相同。更确切地说：
上面的公式=
integral_over_perimeter(-y dx + x dy) =
integral_over_area((-(-dy)/dy+dx/dx) dy dx) =
2 Area
Stack Overflow用户
发布于 2009-04-04 16:38:57
叉积是经典的。
如果你有大量这样的计算要做，试试下面的优化版本，它需要的乘法次数减少了一半：
area = 0;
for( i = 0; i < N; i += 2 )
area += x[i+1]*(y[i+2]-y[i]) + y[i+1]*(x[i]-x[i+2]);
area /= 2;为了清晰起见，我使用数组下标。使用指针更有效。尽管好的编译器会帮你做到这一点。
假设多边形是“闭合”的，这意味着您将第一个点复制为下标为N的点。它还假设多边形具有偶数个点。如果N不是偶数，则附加第一个点的另一个副本。
该算法是通过展开并结合经典叉积算法的两次连续迭代而获得的。
我不太确定这两种算法在数值精度方面的比较。我的印象是，上述算法比经典算法更好，因为乘法往往会恢复减法的精度损失。当约束使用浮点数时，就像使用GPU一样，这可能会产生很大的差异。
编辑："Area of Triangles and Polygons 2D & 3D"描述了一种更有效的方法
// "close" polygon
x[N] = x[0];
x[N+1] = x[1];
y[N] = y[0];
y[N+1] = y[1];
// compute area
area = 0;
for( size_t i = 1; i <= N; ++i )
area += x[i]*( y[i+1] - y[i-1] );
area /= 2;Stack Overflow用户
发布于 2013-11-09 19:48:56
This page表明该公式
可以简化为：
如果你写出几个术语，并根据xi的公共因素对它们进行分组，等价性就不难看出。
最终求和效率更高，因为它只需要n乘法而不需要2n。
def area(x, y):
return abs(sum(x[i] * (y[i + 1] - y[i - 1]) for i in xrange(-1, len(x) - 1))) / 2.0我从Joe Kington，here那里学到了这个简化。
如果你有NumPy，这个版本会更快(除了非常小的数组)：
def area_np(x, y):
x = np.asanyarray(x)
y = np.asanyarray(y)
n = len(x)
shift_up = np.arange(-n+1, 1)
shift_down = np.arange(-1, n-1)
return (x * (y.take(shift_up) - y.take(shift_down))).sum() / 2.0https://stackoverflow.com/questions/451426
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