问选中jquery单选按钮仍显示错误

EN

$('input:radio').on('click', function (e) {
    $('#errgender').text("*");
});

$(':submit').on('click', function (e) {
    var valid = false;
    if (radio_not_selected) {
        valid = true;
        $('[name="gender"]').focus();
        $('#errgender').text("Please specify gender");
    }

    if (valid) e.preventDefault();
});

function radio_not_selected() {
    var radio = $("input[name='gender']:checked");
    if (radio.length <= 0) return true;
    else return false;
}