如何利用导数和梯度下降求x的最小化函数值 - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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逻辑回归(logistics regression)原理-让你彻底读懂逻辑回归

即在逻辑回归模型中，最大化似然函数和最小化损失函数实际上是等价的(求最大化对数似然函数对应的参数θ和求最小化平均对数似然损失对应的参数θ是一致的)，即： ? 那如何求得损失函数最小对应的参数呢？...从上面的分析知，用梯度下降法求解参数最重要的是找到下降最快的方向和确定要走的步长。那么什么是函数下降最快的方向？如果学过一元函数的导数，应该知道导数的几何意义是某点切线的斜率。...它的导数叫做梯度(偏导数)，当求某个变量的导数时，把其它变量视为常量，对整个函数求导，也就是分别对于它的每个分量求导数，即 ?...对于函数的某个特定点，它的梯度就表示从该点出发，函数值变化最为迅猛的方向。至此梯度下降法求解参数的方向已经找到，那就是函数的梯度方向。接下来推导损失函数的梯度(偏导数)：由损失函数的公式知： ?...对损失函数求偏导： ? ? 至此，找到了梯度下降中的方向，只要给定一个步长就可以用迭代的方式来求待求参数，迭代的公式为： ?

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花书第一谈之数值计算

条件数较大时，求逆对于输入误差特别敏感。这是矩阵本身的特性，与计算机精度无关。 3.基于梯度的优化方法 3.1 基本概念优化是指通过改变x来最大化或最小化函数f(x)。...3.2 梯度下降算法对于函数 y=f(x) ，我们通常用 f'(x) 或 ? 来表示其导数。导数代表了f(x)在x处的斜率，即假如我们将x改变一个小量 ? 则 ?...通过上述我们知道，导数告诉我们如何更改x来微调地改善y。梯度下降算法：我们想要寻找f(x)的最小值，假设我们初始位置是 x ，那我们下一次想要找的新的x的位置为 ?...对于多维空间，我们也可以看出一阶梯度下降算法的局限性，如果不同方向上的曲率不同，则某些方向上导数改变很快，而另一些方向上导数改变很小，由于梯度下降算法并没有考虑二阶梯度，它并不知道该选取哪个方向才能更快的到达极值点...多维情况下的二阶泰勒展开为 ? 使f(x)相对于x的导数为零，可得更新公式 ? 牛顿方法会比梯度下降算法更快的到达极值点。 4.约束优化约束极值如何处理？

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机器学习优化算法（一）

梯度下降法梯度下降法，肯定是利用的梯度的原理，关于梯度的讲解推荐大家去看这个视频： https://www.bilibili.com/video/av19844108?...利用梯度下降求解最优化问题：将待求解最优化问题可以转化为下面函数：求函数梯度，即对分别求函数的偏导数，结果如下：初始化起点：初始化学习率：进行多次迭代求解： 4.1批量梯度下降...4.2随机梯度下降(SGD) 随机选择部门样本来最小化损失函数，得到的极值是局部最优解，适用于大规模训练样本情况。...具体的逼近原理就是让两个函数p(x)和f(x)在x0处的函数值相等（y值相等），一阶导数相等（斜率方向相等），二阶导数相等（斜率大小相等），…，n阶导数相等，这样函数p(x)就在点x0处无限接近了函数f...2.利用牛顿法求解最优化问题思路：已知函数待求解最优化问题可以转化为求函数f(x)的极值，求f(x)的极值可以转化为求f(x)的导数 φ′(x)=0的解。

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『机器学习笔记』最优化方法

机器学习的问题大多可以建模成一种最优化模型求解，常见最优化方法有梯度下降法，牛顿法和拟牛顿法，启发式优化算法（PSO, ABC等）。...机器学习算法随机梯度下降求解模型批量梯度下降—最小化所有训练样本的损失函数，使得最终求解的是全局的最优解，即求解的参数是使得风险函数最小，但是对于大规模样本问题效率低下。...随机梯度下降—最小化每条样本的损失函数，虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向，但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近，适用于大规模训练样本情况。...，同事满足条件： G_{k+1} y_k= x^{(k+1)} - x^{(k)} 每次迭代的时候，选择更新： G_{k+1} = G_k + \Delta G_k 区别梯度下降法是用来求函数值最小处的参数值...，而牛顿法是用来求函数值为0处的参数值，不过是导数的0值点。

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机器学习与深度学习习题集答案-1

函数值下降。从初始点 ? 开始，反复使用如下迭代公式 ? 只要没有到达梯度为0的点，函数值会沿序列 ? 递减，最终收敛到梯度为0的点。从 ? 出发，用式1进行迭代，会形成一个函数值递减的序列 ? ?...11.梯度下降法为什么要在迭代公式中使用步长系数？其作用是保证 ? 在x的邻域内，即控制增量的步长，从而可以忽略泰勒公式中的 ? 项。否则不能保证每次迭代时函数值下降。...12.梯度下降法如何判断是否收敛？迭代终止的条件是函数的梯度值为0（实际实现时是接近于0即可），此时认为已经达到极值点。可以通过判定梯度的二范数是否充分接近于0而实现。...根据欧拉-拉格朗日方程，由于泛函的核没有p(x)的导数项，对p(x)有如下微分方程 ? 对乘子变量求偏导数可以得到 ? 根据式1可以解得 ? 将其代入式2可以解得 ? 最终解得 ?...5.根据最小化重构误差准则推导PCA投影矩阵的计算公式。最小化如下误差函数 ? 为了求这个函数的极小值，对 ? 求偏导数并令其为0可以得到： ? 变形后得到： ? 由于e是单位向量，因此 ?

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梯度下降及其优化

目录一、梯度与方向导数二、梯度下降三、Jacobian和Hessian函数四、随机梯度下降----一、梯度与方向导数偏导数刻画了函数沿坐标轴方向的变化率，但有些时候还不能满足实际需求。...求一个函数的梯度，就可以看成是将哈密尔顿算子与函数做乘法，即。可见对一个函数求梯度，其实是从一个标量得到一个矢量的过程。...二、梯度下降大多数深度学习算法都涉及某种形式的优化。优化指的是改变x以最小化或最大化某个函数f(x)的任务。通常以最小化f(x)指代大多数优化稳如。最大化可以经由最小化来实现。...因此导数对于最小化一个函数很有用，因为它告诉我们如何更改来略微地改善。例如，我们知道对于足够小的来说，是比小的。因此我们可以将往梯度的方向移动一小步来减少。...为了使“最小化”的概念有意义，输出必须是一维的(标量)。针对具有多维输入的函数，我们需要用到偏导数(partial derivation)的概念。偏导数衡量点处只有增加时如何变化。

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机器学习最优化算法（全面总结）

机器学习要求解的数学模型几乎所有的机器学习算法最后都归结为求一个目标函数的极值，即最优化问题，例如对于有监督学习，我们要找到一个最佳的映射函数f (x)，使得对训练样本的损失函数最小化（最小化经验风险或结构风险...对于这种无法直接求解的方程组，我们只能采用近似的算法来求解，即数值优化算法。这些数值优化算法一般都利用了目标函数的导数信息，如一阶导数和二阶导数。如果采用一阶导数，则称为一阶优化算法。...这样迭代法的核心是得到这样的由上一个点确定下一个点的迭代公式：梯度下降法梯度下降法沿着梯度的反方向进行搜索，利用了函数的一阶导数信息。...和标准梯度下降法唯一不同的是多了分母中的这一项，它累积了到本次迭代为止梯度的历史值信息用于生成梯度下降的系数值。根据上式，历史导数值的绝对值越大分量学习率越小，反之越大。...牛顿法牛顿法是二阶优化技术，利用了函数的一阶和二阶导数信息，直接寻找梯度为0的点。牛顿法的迭代公式为：其中H为Hessian矩阵，g为梯度向量。

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机器学习1--线性回归模型

最小化残差平方和，即最小化SSE： ? 根据方差与协方差的如下性质： ? ? 通过极值条件，求得α、β的估计值如下： ?...在机器学习中，梯度下降法是比较基础和重要的求最小值的算法：下山问题假设我们位于黄山的某个山腰处，山势连绵不绝，不知道怎么下山。...这里的下山最陡的方向就是梯度的负方向。梯度表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得较大值，即函数在当前位置的导数。 ?...一般认为牛顿法可以利用到曲线本身的信息，比梯度下降法更容易收敛（迭代更少次数），如下图是一个最小化一个目标方程的例子，红色曲线是利用牛顿法迭代求解，绿色曲线是利用梯度下降法求解。...取一些典型的离散值，如0.0001,0.001,0.01等，比较取哪个值时函数值下降最快，作为最优步长。与梯度下降法相比牛顿法有更快的收敛速度，但每一步迭代的成本也更高。

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神经网络中梯度下降算法

所以你可以用不同的初始位置进行梯度下降，来寻找更小的极小值点，当然如果损失函数是凸函数就没必要了，开开心心的进行梯度下降吧！比如下面这种：问题是，如何用数学语言去描述以上5步呢？...则导函数本身则代表着函数沿着ｘ方向的变化率二元函数对于二元函数，ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ），它对ｘ和ｙ的偏导数分别表示如下：函数在ｙ方向不变的情况下，函数值沿ｘ方向的变化率函数在ｘ方向不变的情况下，函数值沿...比如，我想求ｕ方向上的变化率，根据导函数的定义若：其中α是ｕ方向与ｘ正方向的夹角极限存在，可用洛必达法则，分子分母同时对▲ｕ求导原式等于：令：这是一个自变量是α的函数，我们将其命名为方向导数...”找到相对于该位置而言下降最快的方向“ 而我们的方向导数，本身代表的就是函数变化率与方向的关系，也就是说我们需要利用方向导数，找到使得函数变化率最大的方向那么，问题来了，在哪一个方向上变化率最大呢？...：我们把上式称之为梯度，所以梯度方向是函数变化率最大的方向，更本质的说是函数增长最快的方向所以，当我们需要最小化损失函数时，只需要使损失函数沿着负梯度前行，就能使损失函数最快下降。

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机器学习中的最优化算法（全面总结）

机器学习要求解的数学模型 ---- 几乎所有的机器学习算法最后都归结为求一个目标函数的极值，即最优化问题，例如对于有监督学习，我们要找到一个最佳的映射函数f (x)，使得对训练样本的损失函数最小化（最小化经验风险或结构风险...对于这种无法直接求解的方程组，我们只能采用近似的算法来求解，即数值优化算法。这些数值优化算法一般都利用了目标函数的导数信息，如一阶导数和二阶导数。如果采用一阶导数，则称为一阶优化算法。...这样迭代法的核心是得到这样的由上一个点确定下一个点的迭代公式：梯度下降法 ---- 梯度下降法沿着梯度的反方向进行搜索，利用了函数的一阶导数信息。...和标准梯度下降法唯一不同的是多了分母中的这一项，它累积了到本次迭代为止梯度的历史值信息用于生成梯度下降的系数值。根据上式，历史导数值的绝对值越大分量学习率越小，反之越大。...牛顿法 ---- 牛顿法是二阶优化技术，利用了函数的一阶和二阶导数信息，直接寻找梯度为0的点。牛顿法的迭代公式为：其中H为Hessian矩阵，g为梯度向量。

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Machine Learning笔记（二）单变量线性回归

如上图所示，hθ(x) 表示一条关于 x 的直线， θ0 和 θ1 是它的两个参数，要求 hθ(x)，就必须确定这两个参数。那么，如何选择这两个参数呢？...我们可以通过调节参数 θ，以最小化所有训练样本点 (x, y) 与预测样本点(x,hθ(x)) 的距离的平方和来求得。具体叙述如下： ? 注：m表示训练样本个数。...那么，我们可以猜想一下，最快速的方法求 J(θ1) 的最小值，就是求其关于 θ1 的导数。...庆幸的是，在文中的例子中，我们选择的假设函数 hθ(x) 是一条直线，从而 J(θ0, θ1) 是一个二次函数，它只有一个最优解，利用梯度下降方法可以很好的解决问题。 ?...那么，如何迈每一步，也就是说如何执行梯度下降算法？其执行过程如下： ?

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从零开始多维度理解海森矩阵（Hessian）

二阶导）则告诉我们坡度是如何变化的，即曲率，回答了沿着某个特定方向移动，梯度会如何变化的问题。...：在优化算法中，梯度下降法只使用一阶信息，像是一个盲人仅凭手杖的坡度摸索下山，而牛顿法等二阶优化算法利用了Hessian矩阵，它不仅知道当前的坡度，还知道坡度的变化趋势（曲率），从而能预测更优的下山路径...,λn，特征值（主曲率）决定了函数在该点附近的局部形状，大的正特征值意味着沿着该方向，函数值急剧上升；大的负特征值意味着沿着该方向，函数值急剧下降；接近零的特征值意味着沿着该方向，函数几乎是平坦的。...拟牛顿法：通过一阶信息构造Hessian矩阵的近似，在计算成本和收敛速度间取得平衡，是机器学习中的主流。自然梯度下降：涉及到Fisher信息矩阵，本质上是概率分布空间上的Hessian。...缺点：计算成本高昂：计算和存储一个 n×n的Hessian矩阵需要 O(n2) 的资源和时间，对其求逆更需要 O(n3) 的计算复杂度，对于高维问题（如深度学习，n 可达数百万），这完全不可行。

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还不了解梯度下降法？看完这篇就懂了！

我们知道：机器学习就是需找一种函数f(x)并进行优化，且这种函数能够做预测、分类、生成等工作。那么其实可以总结出关于“如何找到函数f(x)”的方法论。...我们的目标是让损失函数最小化。这就引出了下面需要介绍的方法：梯度下降是目前机器学习、深度学习解决最优化问题的算法中，最核心、应用最广的方法。...要找到使损失函数最小化的参数，如果纯粹靠试错搜索，比如随机选择1000个值，依次作为某个参数的值，得到1000个损失值，选择其中那个让损失值最小的值，作为最优的参数值，那这样太笨了。...但此时雾很大，看不清下山的路径。他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。...然后我们通过“下山”这样的模拟场景，以及严谨的数据公式推导深刻理解了梯度下降算法，并引出了学习率的概念。最后我们给出了梯度下降方法的不足和改进方法。

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从零开始深入理解梯度下降法

梯度下降法就是这个过程的数学抽象：山丘：就是我们要最小化的目标函数 J(θ)。位置：就是当前的参数估计 θk。...总结算法流程参数说明：过程说明：计算在第 k 步的当前参数 θk处，目标函数 J关于每一个参数的偏导数，并将这些导数值组合成一个向量，这个向量 gk的方向指向函数值 J增长最快的方向，其大小（模长...∇(Nabla算子)：这是一个微分算子，意思是“对……求梯度”。它要求对目标函数 JJ 关于它的每一个参数 θ1,θ2,...,θn 分别求偏导数。...应用场景线性回归：最小化均方误差（MSE）损失函数。逻辑回归：最小化交叉熵损失函数。神经网络：反向传播算法的核心就是梯度下降。通过链式法则计算网络中所有权重的梯度，然后用梯度下降法更新权重。...小批量梯度下降：每次迭代使用一小部分（一个Batch）样本来计算梯度，是SGD和标准GD的折中，兼具效率和稳定性，是最常用的实践方式。带动量的SGD：引入了“动量”的概念，类似于小球滚下山坡。

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独家 | 数据科学家指南：梯度下降与反向传播算法

成本函数又称为损失函数，利用成本函数衡量模型的出错程度。成本函数的偏导数影响模型的权重和偏差。梯度下降是一种算法，用于搜索使成本函数最小化或准确度最优的那些参数。...图3绘制了x和y轴上的成本函数，该成本函数保存函数参数空间内的全部数值。接下来，让我们来看看神经网络是如何通过成本函数可视化来实现学习，曲线为神经网络参数空间内分布不均匀的权重/参数值。...图3：可视化之后的梯度下降上图中的蓝色点表示搜索局部最小值时进行的一个步骤（成本函数中求参数值）。模型成本函数的最低点对应于使成本函数最小的权重值的位置。成本函数越小，神经网络的性能越好。...“反向传播”这个名称来自于进程的字面意思，即“误差的反向传播”，梯度的偏导数对误差进行量化。通过网络向后传播误差，利用最后一层（最接近输出层的层）梯度的偏导数来计算第二层到最后一层的梯度。...利用当前层中前一层的梯度的偏导数确定误差在各层中的传播，一直传播到网络中的第一层（与输入层最近的层）。小结这只是一个关于梯度下降算法的入门介绍，梯度下降算法还涉及到数学和微积分知识。

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第二章单变量线性回归

这个模型的另一个名字“单变量线性回归” 2.2 代价函数那么我们要如何选择θ_1和θ_2这两个参数。 ?...我们知道x表示卖出哪所房子，并且知道这所房子的实际价格。所以，我们要尽量选择参数值，使得在训练集中，给出训练集中的x值，我们能合理准确的预测y值。...标准的定义：在线性回归中，我们要解决的是一个最小化问题，所以我们要写出关于θ_1和θ_2的最小化。而且，我们希望这个式子极小，我想要h(x)和y之间的差异要小。...个训练样本我们要关于θ_1和θ_2对代价函数求最小值。 “代价函数”也被称作“平方误差函数”，有时也被称作“平方误差代价函数”。...用梯度下降法最小化其他函数，而不仅仅是最小化线性回归的代价函数J. 用梯度下降法是可以最小化任意函数的问题概述： ? 初始状态：通常选择是将θ_0设为0，θ_1也设置为0.

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基于变分法的感知色彩校正

摘要本文提出一种基于变分技术的图像感知色彩校正，提出了一个新的图像泛函，其最小值可以产生感知色彩增强后的图，这个变分公式使得局部对比度调整和数据的联系更灵活，展示了一个将梯度下降的数值实现运用到能量泛函和自动色彩增强...本文的主要贡献： 1.考虑ACE的离散形式,可以作为某一特定能量泛函的梯度下降得到，一方面，通过研究与ACE相关的泛函推广，可知变分法可以用于基于人类感知性质的图像增强，另一方面ACE能量泛函的特殊形式揭示了离散框架中固有模型的显式特征...； 2.这个公式可以更好的研究ACE的全局和局部表现，并通过不同的方式控制其影响；在变分中，ACE更容易结合数据的局部联系来避免过度增强，最后加入正则机制； 3.用梯度下降来最小化ACE泛函及欧拉-拉格朗日方程的数值近似使得模型的复杂度从...如果把图像I的平均对比度记为： ? 因此，最小化能量函数E（I）就是最大化图像平均对比度同时最小化其偏差至理论均值1/2。记原始图像为\({I_0}\),能量泛函的梯度下降为： ?...备注4：若采用梯度下降策略来最小化能量函数\(E(I)\)，需要解决的是： ? 若使用显格式（explicit scheme）离散化参数t，可得 ?

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搞懂深度学习到底需要哪些数学知识

误差函数的几何意义及梯度下降为了方便看懂，我们从二维和三维去理解误差函数，如果输出值Oj只有一项，并设定Tj=1，那么Oj和误差函数E刚好构成X,Y的坐标关系如图2所示： ?...图3 任意给定一个X，Y值，通过函数E计算得到一个Z值，形成一个三维曲面，最小值在谷底。我们继续使用上面的梯度下降方法，会产生一个问题，现在的变量是O1，O2两项，到底使用哪个求导数呢？...从上面得知对二元函数z=f(x,y)的梯度下降求法，是对每个X,Y求偏导，那么对于多元函数呢，也是一样的求法，只是多维世界的几何图形就很难表达了，因为我们生活在三维世界，很难想像出克莱因瓶这样的四维世界...现在还有个问题，这里是以O为变量来解释梯度下降求法，但是其实我们要求的是Wij和bj的调整值，根据上面的结论，我们可以通过误差函数E对Wij和bj求偏导得到，步长为自己设置的一个常数，如下： ?...那么如何求呢，通过前面的第一部分的神经网络函数构成关系，Wij和bj到误差函数E是一个多层嵌套的函数关系，这里需要用到复合函数的求偏导方法，截至这里，我们理解了数学原理，再结合下面所用到的数学公式，就构成了推导所需要的最小化数学知识

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Coursera吴恩达《神经网络与深度学习》课程笔记（2）-- 神经网络基础之逻辑回归

Gradient Descent 我们已经掌握了Cost function的表达式，接下来将使用梯度下降（Gradient Descent）算法来计算出合适的w和b值，从而最小化m个训练样本的Cost...由于J(w,b)是convex function，梯度下降算法是先随机选择一组参数w和b值，然后每次迭代的过程中分别沿着w和b的梯度（偏导数）的反方向前进一小步，不断修正w和b。...梯度下降算法能够保证每次迭代w和b都能向着J(w,b)全局最小化的方向进行。...Gradient descent on m examples 上一部分讲的是对单个样本求偏导和梯度下降。...值得一提的是，在上述的梯度下降算法中，我们是利用for循环对每个样本进行dw1，dw2和db的累加计算最后再求平均数的。在深度学习中，样本数量m通常很大，使用for循环会让神经网络程序运行得很慢。

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反向传播算法：定义，概念，可视化

但当解析法很困难时，我们通常尝试数值微分。数值微分由于代数操作很困难，在数值方法中，我们通常使用计算量大的方法，因此经常需要用到计算机。一般有两种方法，一种是利用近邻点，另一种是利用曲线拟合。...如何计算一个代价函数的梯度给定一个函数f，我们想要找到梯度: ? x是一组我们需要它的导数的变量，y是额外的变量，我们不需要它的导数。为了使网络继续学习，我们想要找到代价函数的梯度。...如何计算一个代价函数的梯度给定一个函数f，我们想要找到梯度: ? x是一组我们需要它的导数的变量，y是额外的变量，我们不需要它的导数。为了网络的学习，我们想要找到代价函数的梯度。 ?...如果我们使用线性回归或逻辑回归的梯度下降算法来最小化代价函数。对于神经网络，我们使用反向传播算法。我想现在已经很清楚为什么我们不能对神经网络使用单一方程了。...符号对符号导数到目前为止，您已经了解了如何得到神经网络中节点梯度的代数表达式。通过链式法则在张量上的应用和计算图的概念。

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