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线性方程组

注:以下演示中,数字①②③分别指增广矩阵的第一行、第二行和第三行。...★定义 如果满足如下条件,该矩阵称为阶梯形矩阵: 矩阵中如果有元素都是0的行,那么它位于矩阵的下方。 矩阵中每个非零行的第一个不是0的元素,称为矩阵的主元,主元的列索引随着行索引的递增而严格增大。...” 例如,下面是一个阶梯形矩阵: 第一行主元1,位于第一列 第二行主元2,位于第二列 第三行主元1,位于第四列 第四行是元素都为0的零行 前述将增广矩阵变换成比较容易求解的阶梯矩阵的过程,称为矩阵的初等变换...把 元线性方程组(即含有 个未知量的线性方程组)的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵: 若阶梯形矩阵形如: , ,则原方程组无解。...不妨对线性方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵: 观察阶梯形矩阵可知,原线性方程组有解,且$r=3,n=4,r 这个解称为原线性方程组的一般解,其中 称为自由变量。

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    Python sympy 模块常用功能(三)

    -1], [3, 4], [0, 2]]) #嵌套的列表做参数 ⎡1 -1⎤ ⎢3 4 ⎥ ⎣0 2 ⎦ 创建列向量 >>> Matrix([1, 2, 3])#传入列表 ⎡1⎤ ⎢2⎥ ⎣3⎦ 矩阵的形状...尺寸大小) >>> M = Matrix([[1, 2, 3], [-2, 0, 4]]) >>> M ⎡1 2 3⎤ ⎣-2 0 4⎦ >>> M.shape # .shape 属性 (2, 3) 访问矩阵的行或列...>>> M.row(0) #第0行(索引从0开始) [1 2 3] >>> M.col(-1)#最后一列 ⎡3⎤ ⎣4⎦ 删除矩阵的行或列 >>> M.col_del(0) >>> M ⎡2...3) # zeros(m, n) 返回 m行 n 列 零矩阵 ⎡0 0 0⎤ ⎣0 0 0⎦ >>> ones(3, 2) # ones(m, n) 返回 m行 n 列 一矩阵 ⎡1 1⎤ ⎢1 1⎥....rref()方法返回包含两个元素的tuple, 第一个是行阶梯形矩阵,第二个是列号列表 >>> M = Matrix([[1, 0, 1, 3], [2, 3, 4, 7], [-1, -3, -

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    大模型也能切片,微软SliceGPT让LLAMA-2计算效率大增

    机器之心报道 编辑:张倩、佳琪 删除权重矩阵的一些行和列,让 LLAMA-2 70B 的参数量减少 25%,模型还能保持 99% 的零样本任务性能,同时计算效率大大提升。...为了解决这一问题,来自苏黎世联邦理工学院、微软的研究者提出了一个名为 SliceGPT 的方法。SliceGPT 的核心思想是删除权重矩阵中的行和列来降低网络的嵌入维数,同时保持模型性能。...接下来,他们介绍了使用主成分分析法(PCA)计算各层变换的方法,从而将区块间的信号投射到其主成分上。最后,他们介绍了删除次要主成分如何对应于切掉网络的行或列。...切除 主成分分析的目标通常是获取数据矩阵 X 并计算低维表示 Z 和近似重构 : 其中 Q 是 的特征向量,D 是一个 D × D 小删除矩阵(包含 D × D 同位矩阵的 D 小列),用于删除矩阵左边的一些列...作者删除了 W_in 的行以及 W_out 和 W_embd 的列。他们还删除了插入到残差连接中的矩阵 的行和列(见图 4)。

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    猫头虎 分享:Python库 SymPy 的简介、安装、用法详解入门教程 ‍

    摘要 在Python的世界中,SymPy 是一个不可忽视的符号数学库。本文将深入探讨SymPy的安装步骤、主要功能、以及在实际应用中的操作技巧。...在接下来的内容中,你将了解如何使用 SymPy 解决常见问题,避免一些常见错误,并学习如何在Python开发中最大化地发挥其作用。 什么是 SymPy?...方程求解 :SymPy 可以解代数方程、微分方程、差分方程等。 矩阵运算 :支持矩阵的基本运算、行列式、特征值与特征向量等高级操作。 绘图 :能够生成函数图形,帮助可视化分析。...Q2: 如何避免 SymPy 中的精度问题? 答: SymPy 使用符号计算,其本质上是无穷精度的,但在涉及数值计算时,如浮点运算,可以使用 N() 函数控制精度。...此时可以通过 simplify() 或 expand() 函数来简化。 总结与未来展望 SymPy 是 Python 生态系统中一个极其强大的符号计算库,其应用范围涵盖了从数学到工程的多个领域。

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    ICLR2024,微软 | 提出LLM剪枝方法-SliceGPT,参数减少25%,保持99%的性能!

    更多干货,第一时间送达 删除权重矩阵的一些行和列,让 LLAMA-2 70B 的参数量减少 25%,模型还能保持 99% 的零样本任务性能,同时计算效率大大提升。...为了解决这一问题,来自苏黎世联邦理工学院、微软的研究者提出了一个名为 SliceGPT 的方法。SliceGPT 的核心思想是删除权重矩阵中的行和列来降低网络的嵌入维数,同时保持模型性能。...接下来,他们介绍了使用主成分分析法(PCA)计算各层变换的方法,从而将区块间的信号投射到其主成分上。最后,他们介绍了删除次要主成分如何对应于切掉网络的行或列。...切除 主成分分析的目标通常是获取数据矩阵 X 并计算低维表示 Z 和近似重构 : 其中 Q 是 的特征向量,D 是一个 D × D 小删除矩阵(包含 D × D 同位矩阵的 D 小列),用于删除矩阵左边的一些列...作者删除了 W_in 的行以及 W_out 和 W_embd 的列。他们还删除了插入到残差连接中的矩阵 的行和列(见图 4)。

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    Python 数学应用(一)

    实际上,由于这是一个常见的操作,数组有一个方便的属性T,它返回矩阵的转置。转置会颠倒矩阵(数组)的形状顺序,使行变为列,列变为行。...如果行和列的数量相等,则矩阵是方阵。特别地,一个具有非零行列式的矩阵具有(唯一的)逆,这对于某些方程组的唯一解是成立的。矩阵的行列式是递归定义的。...对于一个 2×2 矩阵 矩阵A的determinant由以下公式定义 对于一个一般的n×n矩阵 其中n > 2,我们定义子矩阵A[i,j],对于 1 ≤ i,j ≤ n,为从A中删除第i行和第j列的结果...然后有压缩列 CSC(csc_matrix)和压缩行 CSR(csr_matrix)格式,它们分别提供了有效的列或行切片。...如果请求单个子图(一行一列,没有参数),则返回一个普通的Axes对象。如果请求单行或单列(分别具有多于一个列或行),则返回Axes对象的列表。

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    Python数学建模算法与应用 - 常用Python命令及程序注解

    iterable 是一个可迭代对象,如列表、元组等。 filter 函数的工作原理是将函数 function 应用于 iterable 中的每个元素,并根据函数返回的布尔值来决定是否保留该元素。...函数的返回值不同: filter 函数中的函数参数应返回一个布尔值,用于判断是否保留该元素。 map 函数中的函数参数可以返回任意值,用于对每个元素进行处理或转换。...计算范数的方法可以通过数学公式进行计算,也可以使用相关的函数或库进行计算,如NumPy中的numpy.linalg.norm函数可以用来计算向量或矩阵的范数。...DataFrame(数据框): DataFrame是二维的表格型数据结构,类似于关系型数据库中的表格或电子表格。它由行和列组成,每列可以包含不同的数据类型。...squeeze:指定是否在分组结果中删除维度为 1 的索引。默认为 False,即保留维度为 1 的索引。 observed:指定在多层索引中是否观察所有可能的值。

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    原创 | 一文读懂主成分分析

    当一个数组中存在2张3行4列的表时,shape返回的是更高维度的行和列。当数组中存在2组2张3行4列的表时,数据就是4维,shape返回(2,2,3,4)。...数组中的每一张表,都可以是一个特征矩阵或一个DataFrame,这些结构永远只有一张表,所以一定有行列,其中行是样本,列是特征。...此时,x1*特征上的数据均值是2√2,而方差则可表示成: 此时,根据信息含量的排序,取信息含量最大的一个特征,因为我们想要的是一维数据,所以可以将x2*删除,同时也删除图中的x2*特征向量,剩下的x1...设有m条n维数据: 1)将原始数据按列组成n行m列矩阵 ; 2)将 的每一行(代表一个属性字段)进行零均值化,即减去这一行的均值得到新的矩阵X; 3)求出协方差矩阵 ; 4)求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量...首先,特征向量的先后顺序要按照特征值的大小顺序进行排列;其次,如果原始数据的矩阵每一行是一个维度,每一列是一个样本的话,这个时候变换矩阵中的每一行是一个特征向量,如下变换矩阵Q。

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    从零开始学习PYTHON3讲义(十一)计算器升级啦

    可以把两者做一个比较: 标准库 第三方扩展库 同为软件库,相同的使用方法 同为软件库,相同的使用方法 由PYTHON官方或认可的开发团队开发维护 通常由世界范围内许多不同公司或组织开发维护 通常只有一个最稳定的版本...为此Python发展出了很多扩展库的管理工具来帮助开发人员安装、管理、删除扩展库。我们第一讲介绍了使用最多的pip管理工具。...列表的定义跟标准Python很像,是用嵌套的“[]”完成的。随后numpy的类型直接就支持矩阵乘法,所以最后“*3”。执行后输出了矩阵的计算结果。...pip install sympy #实际上pip工具可以同时安装多个扩展库,比如: pip install numpy sympy 相对熟悉的数值计算,sympy符号计算库理解起来会难一些。...我们前面也讲过了,这些符号本身属于保留字的一种,是不能被我们用于其它用途的。

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    健康学习到 150 岁:人体系统调优不完全指南 | 开源日报 No.93

    使用本材料时必须保留对原始作者 Gustavo Guanabara 教授创建和提供该材料的引用。...sympy/sympy[3] Stars: 11.5k License: NOASSERTION SymPy 是一个用于 Python 的符号计算库,可以进行代数运算、微积分、离散数学等各种数学操作。...它可以通过安装 u2net 模型来实现更好的效果,并且支持高级用法,如 alpha matting、改变帧率、设置总帧数等。...支持从本地文件图片中删除背景 提供高级用法,如 alpha matting 和不同方法之间的模型选择 可以将透明 mov 格式覆盖在其他视频上 可以将透明 gif 格式制作为结果输出 cosmos/cosmos-sdk...快速入门教程:通过访问 “Cosmos SDK Tutorials”,可以快速开始并学习如何在 Cosmos SDk 上构建应用程序,并且还可以 fork 这个教程库以便开始创建自己的 Cosomos

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    70个NumPy练习:在Python下一举搞定机器学习矩阵运算

    输入: 输出: 答案: 16.如何交换2维numpy数组中的两个列? 难度:2 问题:交换数组arr中的第1列和第2列。 答案: 17.如何交换2维numpy数组中的两个行?...答案: 21.打印python numpy数组并保留3位小数? 难度:1 问题:打印或显示numpy数组rand_arr,并三位小数。...难度:2 问题:在iris_2d的sepallength(第1列)中查找缺失值的数量和位置。 答案: 34.如何根据两个或多个条件过滤一个numpy数组?...难度:3 问题:过滤具有petallength(第3列)> 1.5和sepallength(第1列)的iris_2d的行。 答案: 35.如何从numpy数组中删除包含缺失值的行?...输入: 答案: 63.如何在一维数组中找到所有局部最大值(或峰值)? 难度:4 问题:在一维numpy数组a中查找所有峰值。峰值是两侧较小值包围的点。

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    Matlab入门(一)

    如ans是默认赋值变量,i和j代表虚数单位,pi代表圆周率,NaN代表非数。 变量的删除和修改(who,whos) 在工作区选择变量右击即可进行删除和修改。...调用格式为: D=sub2ind(S,I,J)% S行数和列数组成的向量 I转换矩阵元素的行下标 J转换矩阵元素的列下标 ind2ind函数:将矩阵元素的序号转换成对应的下标,调用格式为: [I,...J]=ind2sub(S,D)% I行下标 J列下标 S行数和列数组成的向量 D序号 3 利用冒号表达式获得子矩阵(end) 子矩阵是指由矩阵中一部分元素构成的矩阵。...reshape (A,m,n) 注意:reshape函数只是改变原矩阵的行数和列数,但并不改变原矩阵元素个数及其存储顺序。 A(:)将矩阵A的每一列元素堆叠起来成为一个列向量。...若参与逻辑运算的一个是标量,一个是矩阵,那么将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行运算,最终运算结果是一个与原矩阵同型的矩阵,其元素由1或0组成。

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    炒鸡简单,带你快速撸一遍Numpy代码!

    这里需要注意的是axis这个参数,在2维数据中,axis = 0表示选择行,axis = 1表示选择列,但不能机械的认为0就表示行,1就表示列,注意前提2维数据中。...在三维数据中,axis = 0表示组,1表示行,2表示列。这是为什么呢?提示一下,三位数组的shape中组、行和列是怎样排序的? 所以,axis的赋值一定要考虑数组的shape。...自己试一下 print(np.delete(a,[0],axis = 0)) 再有一点需要注意的是,如果你想让原数据保留删除后的结果,需要重新赋值一下才可以。...array([[ 0, 1, 2], [ 4, 5, 6], [ 8, 9, 10], [12, 13, 14]]) 这里可以看出,我们筛选了a矩阵中前三列的所有行...相同的是: 二者都可以使用参数axis来决定依照哪个轴进行排序,axis = 0时按照列排序,axis = 1时按照行排序; 不同的是: np.sort()不会更改原数组;ndarray.sort()会更改原数组

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    如何在矩阵的行上显示“其他”【4】看得见与看不见,看上去看不见但还是能看得见,看上去看不见也真的看不见

    按照惯例,先上链接: 往期推荐 如何在矩阵的行上显示“其他”【1】 如何在矩阵的行上显示“其他”【2】 如何在矩阵的行上显示“其他”【3】切片器动态筛选的猫腻 引子 正常情况下,我们所见的表或者矩阵...理论上不会同时显示两个名称为“器具”的行,也不会同时出现三把“椅子”,且对应着不同的聚合值。 除非。。。这三个“椅子”,根本不是同一把“椅子”。...正文开始 上一篇文章中我们已经实现了这个效果: 当年度切片器变换筛选时,子类别中显示的种类和顺序是不相同的,但不变的是: ①others永远显示在最后一行 ②显示的10个子类别按照sales或sales...2016-2019年,我们可以在不同的年份对应的子类别上分别加上不同数量的空格,这样,在[子类别3]这一列中,就不会有重复值了,也就是说在对[子类别3]进行“按列排序”选择[sales.oneyear.rankx2...所以,作者巧妙地将原列名“隐藏”掉,改用带着文本的按钮来显示标题: 这思想着实很厉害了,值得学习。 这就是我说的“看得见”与“看不见”——看上去看不见但还是能看得见。

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    炒鸡简单,带你快速撸一遍Numpy代码!

    这里需要注意的是axis这个参数,在2维数据中,axis = 0表示选择行,axis = 1表示选择列,但不能机械的认为0就表示行,1就表示列,注意前提2维数据中。...在三维数据中,axis = 0表示组,1表示行,2表示列。这是为什么呢?提示一下,三位数组的shape中组、行和列是怎样排序的? 所以,axis的赋值一定要考虑数组的shape。...自己试一下 print(np.delete(a,[0],axis = 0)) 再有一点需要注意的是,如果你想让原数据保留删除后的结果,需要重新赋值一下才可以。...: array([[ 0, 1, 2], [ 4, 5, 6], [ 8, 9, 10], [12, 13, 14]]) 这里可以看出,我们筛选了a矩阵中前三列的所有行...相同的是: 二者都可以使用参数axis来决定依照哪个轴进行排序,axis = 0时按照列排序,axis = 1时按照行排序; 不同的是: np.sort()不会更改原数组;ndarray.sort()会更改原数组

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    高数计算,我Python替你承包了

    它旨在成为一个功能齐全的计算机代数系统(Computer Algebra System,CAS),同时保持代码简洁、易于理解和扩展。SymPy完全是用Python写的,并不需要外部的库。...如要同时配置多个符号 对象,symbols()中多个name属性可以以空格或者逗号分隔,然后用引号包住,如下: ?...上面的语句创建了名为x0、y0、x1、y1的4 个Symbol对象,同时还在当前的环境中创建 了 4个同名的变量来分别表示这4个Symbol对象。...数学公式中的符号一般都有特定的假设,例 如m、n通常是整数,而z经常表示复数。...输出:0 其他还有一些求导,矩阵的算法,平面几何算法,详细见一下sympy文档,这里因为时间问题,我们就不再去介绍了,有问题的可以私聊小编! 下期见!

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    SymPy库解读

    可以使用pip工具安装SymPy库: bashCopy codepip install sympy 安装完成后,你就可以在Python脚本或交互式环境中导入SymPy并开始使用了。...矩阵和线性代数 SymPy支持矩阵和线性代数操作。...([[5, 6], [7, 8]]) # 矩阵乘法 result = A * B # 打印结果 print(result) SymPy的Matrix类提供了矩阵的表示和基本操作。...高级功能 SymPy还包含许多高级功能,如解微分方程、数值积分、符号逻辑和概率统计等。这些功能使SymPy成为一个强大的符号计算工具。...符号计算的应用示例 在本节中,我们将通过几个实际应用的示例,展示SymPy库在解决复杂问题时的强大功能。 1. 曲线拟合 SymPy可以用于曲线拟合问题,通过符号计算得到拟合曲线的表达式。

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    开源图书《Python完全自学教程》12.4科学计算

    图12-4-4 显示代码块中的行号 将鼠标移动到代码块中并单击,如图12-4-5所示,开始输入一行代码,然后回车,输入第二行——注意,这里与 Python 交互模式不同,回车意味着换行,而不是执行当前行代码...12.4.2 第三方库 Python 生态中拥有非常丰富的支持科学计算的第三方库,常用的有 NumPy 、Pandas 、SciPy 、Matplotlib 、SymPy 等,建议读者将这些库依次安装。...% pip install numpy pandas sympy scipy matplotlib 除了能在终端执行安装指令之外,在 JupyterLab 的代码块中也可以执行终端指令,如图12-4-...__version__ [3]: '1.19.4' # 上述代码块的输出结果 在数据科学中,引入一些常用的第三方库时,习惯于再命名一个别称(或简称),例如以 np 作为 numpy 的别称...安装好基础库之后,再列举几个示例(随后几个小节内容),体会 Python 在科学计算中的应用。 12.4.3 矩阵 矩阵不仅在线性代数中占据重要地位,也是科学计算的主角。

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    Python开发之numpy的使用

    2维数据中,axis = 0表示选择行,axis = 1表示选择列,但不能机械的认为0就表示行,1就表示列,注意前提2维数据中。...在三维数据中,axis = 0表示组,1表示行,2表示列。这是为什么呢?提示一下,三位数组的shape中组、行和列是怎样排序的?...5、ndarray切片 python a[:,:-1] 去除最后一列 a[:,-1] 只保留最后一列 一个常用的切片 python 以列的形式获取最后一列数据: a[:,3:] out:...(x,y) #取x与y的并集 算术运算 Code 我们可以通过+、-、*、/或np.add、np.substract、np.multiply 、np.divide来对两个矩阵进行元素级的加减乘除运算...Code 相同的是: 二者都可以使用参数axis来决定依照哪个轴进行排序,axis = 0时按照列排序,axis = 1时按照行排序; 不同的是: np.sort()不会更改原数组;ndarray.sort

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