机器之心报道 机器之心编辑部 原来早在 2017 年，百度就进行过 Scaling Law 的相关研究，并且通过实证研究验证了深度学习模型的泛化误差和模型大小随着训练集规模的增长而呈现出可预测的幂律 scaling...，DL 泛化误差和模型大小呈现出幂律增长模式。...还有一些研究从理论上预测泛化误差「学习曲线」呈幂律形式，即 ε(m) ∝ 。在这里，ε 是泛化误差，m 是训练集中的样本数量，α 是问题的一个常数属性。...在这篇论文中，百度的研究者提出了当时最大规模的基于实证的学习曲线特征描述，揭示了深度学习泛化误差确实显示出幂律改进，但其指数必须通过实证进行预测。...尽管不同的应用产生了不同的幂律指数和截距，但这些学习曲线跨越了广泛的模型、优化器、正则化器和损失函数。改进的模型架构和优化器可以改善幂律截距，但不影响指数；单一领域的模型显示出相同的学习曲线陡峭度。
我们在湍流核中发现了幂律，暂时命名为惯性子域，类似于流体动力学中发现的幂律，也类似地似乎是均匀各向同性的，即具有独立于位置和方向的平均性质。...随后，这启发了Kolmogorov基于结构函数的概念创建了他的湍流现象学理论。对于流体力学，他证明了惯性子区间内幂律的存在，其中结构函数表现出空间尺度的通用缩放，即欧几里德距离r。...子面板显示了经验dMRI纤维束的结构连通性矩阵(左)和拟合指数距离规则(右)，当将dMRI连通性数据拟合到潜在的指数函数时，最佳λ= 0.18 mm^-1。这些矩阵非常相似，反映了极好的拟合水平。...图6 在七个任务中比较特定于任务的异常 3.5实证数据中的功能核心和幂律探究 功能核心是信息处理的基础支柱这一重要结果留下了一个重要的问题，即这是否显示了类似于流体力学中发现的幂律，这表明了信息级联。...图7的结果表明，人脑的功能核心表现出幂律和各向同性的均匀性，这两者都是湍流的特征。重要的是，这可能反映了信息级联的存在。
然而，这些仅通过缩放实现的提升在计算和能源方面带来了相当高的成本。 这种成比例的缩放是不可持续的。例如，想要误差从 3% 下降到 2% 需要的数据、计算或能量会指数级增长。...在最近的一篇文章中，研究者们发现，只增加一些精心选择的训练样本，可以将误差从 3% 降到 2% ，而无需收集 10 倍以上的随机样本。...，但当初始数据集比较小时，这样反而有害； (2) 随着初始数据集大小的增加，通过保留最难样本的固定分数 f 进行的数据剪枝应该产生幂律缩放，指数等于随机剪枝； (3) 在初始数据集大小和所保留数据的分数上优化的测试误差...，可以通过在更大初始数据集上进行更积极的剪枝，追踪出一个帕累托最优下包络线，打破了测试误差和剪枝数据集大小之间的幂律缩放函数关系。...此外，图 4A 提供了一个在微调设置中打破幂律缩放的样本。
最基本的交叉验证实现类型是基于保留数据集的交叉验证。该实现将可用数据分为训练集和测试集。...我们了解了过度拟合是什么，以及如何使用基于保留数据集的交叉验证技术来检测模型是否过度拟合。让我们获取一些数据，并在数据上实施这些技术，以检测我们的模型是否过度拟合。...优化问题为了获得我们模型的"最佳"实现，我们可以使用优化算法来确定最大化或最小化目标函数的一组输入。通常，在机器学习中，我们希望最小化目标函数以降低模型的误差。...：{mse}\n")# 绘制最佳拟合线sns.sca>>>> 均方误差：9.7在接下来的部分，我们将深入探讨L1和L2正则化背后的直觉。...这意味着L2范数只有一个可能的解决方案。如前所述，L2正则化仅将权重缩小到接近于0的值，而不是真正变为0。另一方面，L1正则化将值收缩到0。
网络复杂性同分类误差之间的联系： 70-90年代关于神经网络的数学结论可谓多如牛毛，基本上很多讨论了规模和泛化之间的关系，尤其是分类问题，关于分类的训练误差和测试误差（泛化能力），基本上归结为几个基本要求和限制...： 模型要多复杂： 增加复杂度总是能拟合好训练样本，而要获得良好的泛化能力，普遍认为复杂度应该为训练数据数目的某种幂次，才能有较好的泛化能力。...奥卡姆剃刀疑惑：理论上，带一层隐藏层的核基神经网络可以将任意数据拟合好（理解为级数展开，每个项就是一个隐藏神经元），那么提高复杂度的作用是啥？...复杂的代价：一个基本的定理，测试误差 >= 训练误差 + 模型复杂度，过度复杂的代价便是过拟合。防止过拟合的方法没有通论，业界通称“黑魔法”。...产生成千上万个没经验证的特征总是容易的，但去除冗余特征，也就是去掉那些添不添加都不影响结果的特征，就需要相当的技巧。
拟合与插值的区别 拟合和插值是两种不同的概念。插值要求所求的函数必须经过所有给定的数据点，而拟合则不需要经过所有数据点，只要误差足够小即可。...常用的拟合算法 最小二乘法：这是最常用的拟合算法之一，通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合曲线。最小二乘法可以应用于线性回归、多项式回归等场景。...线性回归：设一条直线 y=kx+by=kx+b，通过最小化误差的平方和来确定 kk 和 bb 的值。 多项式回归：使用高阶多项式函数来逼近数据点，基本思想是通过不断增加多项式的阶数来提高拟合精度。...傅里叶级数拟合：将复杂的函数拆解成多个简单的正弦和余弦函数的和，通过求解系数来实现拟合。这种方法广泛应用于信号处理、图像处理等领域。...其基本思想是通过最小化误差的平方和来找到最佳拟合曲线或表面。在不同的数据分布下，最小二乘法的表现可能会有所不同。 最小二乘法在处理正态分布数据时表现最佳。
Logit回归目标函数是最小化后验概率 B. Logit回归可以用于预测事件发生概率的大小 C. SVM目标是结构风险最小化 D. SVM可以有效避免模型过拟合 解析： A....CHI(Chi-square) 卡方检验法 利用了统计学中的”假设检验”的基本思想：首先假设特征词与类别直接是不相关的 如果利用CHI分布计算出的检验值偏离阈值越大，那么更有信心否定原假设，接受原假设的备则假设...其解完全适用于非线性可分的情况 D. 其解的适应性更好 HK算法思想很朴实,就是在最小均方误差准则下求得权矢量....贝叶斯分类器：一种基于统计方法的分类器，要求先了解样本的分布特点（高斯、指数等），所以使用起来限制很多。...H-K算法：在最小均方误差准则下求得权矢量，二次准则解决非线性问题。 势函数法：势函数非线性。
基于Amos路径分析的模型拟合参数详解 1 卡方、自由度、卡方自由度比 2 GFI、AGFI 3 RMR、RMSEA 4 CFI 5 NFI、TLI（NNFI） 6 ECVI 7 AIC、BIC、CAIC...1 卡方、自由度、卡方自由度比 在模型运行完毕后，将软件中间区域的第四个白色方框下拉到底，将会显示模型对应最优迭代时的卡方（Chi-square）与自由度（df）。 ...其中，卡方表示整体模型中的变量相关关系矩阵与实际情况中的相关关系矩阵的拟合度。...RMR（Root Mean Square Residual），即均方根残差（是不是感觉与均方根误差RMSE很像），其代表实际情况下的矩阵与模型矩阵做差后，所得残差的平方和的平方根，也可以视作拟合残差。...RMSEA（Root Mean Square Error of Approximation），即近似均方根误差，其代表渐近残差平方和的平方根。
大语言模型规模律 讨论大语言模型规模律最重要的两篇可以说是 OpenAI 的 [KMH+20] 和 DeepMind 的 Chinchilla[HBM+22] 了。我们将主要介绍这两篇文章的结论。...由于训练早期训练损失的快速下降，临界批量大小又随损失幂律下降，可见临界批量大小随训练步数下降的很快。...更换指标可以更好的对模型能力的规模性进行预测。 上文中我们已经知道，模型损失值随模型参数指数下降（图A），从而可以得到单个样本预测的正确率指数上升（图B）。...如果将非线性指标“完全字符串匹配正确率”替换为“错误预测的 Token 数”，可以发现同样的幂律分布。同理，将不连续的选择正确率替换为连续的选择正确率，也可以得到幂律分布。...3.5 训练比 Chinchilla 规模律更小的模型 Chinchilla 规模律的出发点是给定计算量，通过分配参数量和数据量最小化损失值。换言之，给定要达到的损失值，最小化计算量。
大语言模型规模率 讨论大语言模型规模律最重要的两篇可以说是 OpenAI 的 [KMH+20] 和 DeepMind 的 Chinchilla[HBM+22] 了。我们将主要介绍这两篇文章的结论。...由于训练早期训练损失的快速下降，临界批量大小又随损失幂律下降，可见临界批量大小随训练步数下降的很快。...更换指标可以更好的对模型能力的规模性进行预测。 上文中我们已经知道，模型损失值随模型参数指数下降（图A），从而可以得到单个样本预测的正确率指数上升（图B）。...如果将非线性指标“完全字符串匹配正确率”替换为“错误预测的 Token 数”，可以发现同样的幂律分布。同理，将不连续的选择正确率替换为连续的选择正确率，也可以得到幂律分布。...3.5 训练比 Chinchilla 规模律更小的模型 Chinchilla 规模律的出发点是给定计算量，通过分配参数量和数据量最小化损失值。换言之，给定要达到的损失值，最小化计算量。
Part 2 学习算法的一般化界限 第四章：经验风险最小化 风险的凸化：对于二元分类，可以通过凸代理实现最优预测。 风险分解：风险可以分解为近似误差和估计误差之和。...本章主要介绍基于经验风险最小化的方法。在研究必要的概率工具之前，首先探讨了输出空间不是向量空间的问题，例如Y={−1，1}，可以用所谓的损失函数的凸代理重新表示。...通过SGD的泛化边界：只需对数据进行一次传递，就会避免出现过拟合的风险，并获得未见过数据的泛化边界。 方差缩减：当最小化强凸有限和时，这类算法以指数级速度收敛，但迭代复杂度很小。...本章主要提出一种基于梯度下降的优化算法，并分析了其在凸函数上的性能。作者表示将考虑应用于机器学习之外的通用算法，以及专用于机器学习的算法（例如随机梯度方法）。...R的d次幂上的核：这类模型包括多项式和经典Sobolev空间（具有平方可积偏导数的函数）。 算法：凸优化算法可以应用于理论保证和许多专门的发展，以避免计算核矩阵的二次复杂性。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。 利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。 最小二乘法还可用于曲线拟合。...其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。...因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差： 总的误差的平方就是 让总的误差的平方最小的y就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动。...推广 算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄，而最小二乘法用途广泛。 可以选择不同的f(x)，通过最小二乘法可以对同一系列的点得到不一样的拟合曲线。...很可能是奇数次幂，结果有正负号，并不能直接用于误差计算；而4以上的偶数次幂，其效果和2次幂相同，只不过将误差放大了几倍而已。
决定机器学习算法效果(泛化能力)的因素： 1.降低训练误差——解决欠拟合问题 2.缩小训练误差和测试误差的差距——解决过拟合问题 3.一个好的机器学习算法是避免了过拟合同时也避免了欠拟合… 机器学习和纯优化不同的地方在于也希望泛化误差...过拟合 表现：对已知数据预测的很好，对未知数据预测的很差，测试误差和训练误差之间的差距太大。 原因：一味追求提高对训练数据的预测能力，所选模型的复杂度往往会比真模型更高。...正则化 ERM与SRM（经验风险最小化和结构风险最小化） 模型关于训练集的平均损失称为经验风险-ER（EL-经验损失）。 样本容量过小，ERM—>过拟合。...具体来说，训练中实用Dropout时，使用基于小批量产生较小步长的学习算法（SGD等）。随机抽样（独立采样）应用 于网络中所有输入和隐藏单元的不同二值（0，1）掩码。...可以看做是对输入内容的信息高度智能化、自适应破坏的一种形式，而不是对输入原始值的破坏。另一方面，噪声是乘性的。
1 卡方、自由度、卡方自由度比 在模型运行完毕后，将软件中间区域的第四个白色方框下拉到底，将会显示模型对应最优迭代时的卡方（Chi-square）与自由度（df）。 ? ...其中，卡方表示整体模型中的变量相关关系矩阵与实际情况中的相关关系矩阵的拟合度。...因此，可以用卡方自由度比这一参数作为衡量整体模型拟合度的指标：若其值处于1至3之间，表示模型拟合度可以接受。...RMR（Root Mean Square Residual），即均方根残差（是不是感觉与均方根误差RMSE很像），其代表实际情况下的矩阵与模型矩阵做差后，所得残差的平方和的平方根，也可以视作拟合残差。...RMSEA（Root Mean Square Error of Approximation），即近似均方根误差，其代表渐近残差平方和的平方根。
其基本原理是通过递归切割的方法来寻找最佳分类标准，进而最终形成规则。CATA树是对回归树用平方误差最小化准则，分类树用基尼系数最小化准则，进行特征选择，生成二叉树。...树模型算法容易理解，因为它是站在人的思维角度去解决问题，它是基于特征对实例进行分类的过程。它能够从一些列具有众多特征和标签的数据中总结出决策规则，并用树状图的结构呈现这些规则。...在C4.5算法采用信息增益比来选择特征，以减少信息增益容易选择特征值多的特征的问题（避免高度分枝属性）。 ID3和C4.5，都是基于信息论的熵模型的，会涉及大量的对数运算。...换而言之，在纯度较高时三个指数均较低，而当纯度较低时，三个指数都比较大，且可以计算得出，熵在 区间内分布，而 指数和分类误差均在 区间内分布，三个指数随某变量占比增加而变化的曲线如下所示： ?...对回归树用平方误差最小化准则 选择最优切分变量 和最优切分点 ，求解 遍历 ，对固定的切分变量 扫描切分点 ，使得上式达到最小值的对 ，依此对输入空间划分为两个区域
离散型随机变量的概率质量函数和概率密度函数之间的关系是什么？ 离散型随机变量的概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）之间的关系主要体现在它们所描述的随机变量类型不同。...定义和适用范围： 概率质量函数（PMF）：用于描述离散型随机变量在各特定取值上的概率。即，PMF表示的是随机变量在某个具体值上的概率。 概率密度函数（PDF）：用于描述连续型随机变量的概率分布。...例如，正态分布在自然科学、工程技术、经济学和社会科学等领域有广泛应用。指数分布在描述等待时间或寿命等现象时非常有用。 参数的确定：选择合适的连续型分布还需要确定其参数。...例如，均匀分布的参数a和b决定了其取值范围。正态分布的参数μ（均值）和σ（标准差）则决定了其形状和位置。 模型的拟合：通过统计方法对数据进行拟合，检验所选分布是否与数据匹配良好。...例如，可以通过最小二乘法、最大似然估计等方法来估计分布参数，并利用各种统计检验方法（如卡方检验、K-S检验等）来评估模型的拟合优度。
CIFAR-10、MNIST的神经网络的拟合过程，感谢@Jimmy 指正，蓝色表示相对误差大，红色表示相对误差小，随着训练的epoch，频率越高（frequency index 大的），收敛越慢（即，对于某个...值得注意的是， 我们的误差估计针对神经网络本身的学习过程，并不需要在损失函数中添加额外的正则项。关于该误差估计我们将在之后的介绍文章中作进一步说明。...流形越复杂，然后学习过程越容易，这个假设会Break“结构风险最小化”假设，有可能会出现“过拟合”。 ?...给出了以傅里叶域最低频率为中心的63×63平方。同样，自然训练的模型对除最低频率之外的所有加性噪声都高度敏感。另一方面，高斯数据增强提高了高频下的鲁棒性，同时牺牲了对低频扰动的鲁棒性。...X轴表示损坏类型的高频能量的分数，y轴表示与自然训练的模型相比测试精度的变化。总体而言，高斯数据增强、对抗性训练和添加低通滤波器提高了对高频破坏的鲁棒性，降低了对低频破坏的鲁棒性。
参考文献 27 的最新结果说明了在二元分类线性网络的特殊情况下过拟合的明显缺失。...他们证明了最小化损失函数，如 logistic 函数、交叉熵和指数损失函数等会使线性可分离数据集的最大边值解渐近收敛，不受初始条件的影响，也不需要显式正则化。...这里该研究讨论了非线性多层深度神经网络（DNN）在指数型损失下的情况，如下图 2 所示： 左图显示了在数据集（CIFAR-10）相同、初始化不同的网络上，测试与训练交叉熵损失的对比，结果显示在训练集上产生的分类误差为零...研究者这样描述：「在描述经验指数损失最小化的特征时，我们考虑的是权重方向的梯度流，而不是权重本身，因为分类的相关函数对应于归一化网络。动态归一化权值与单位范数约束下最小化损失的约束问题等价。...换言之，深度网络选择最小范数解，因此具有指数型损失的深度网络的梯度流具有局部最小化期望误差。
根据节点的类型，决策树的结构可以分为三种基本元素： 1.根节点（Root Node）：表示整个数据集的初始状态，是树的起始点。根节点基于某个特征（属性）将数据分为不同的子节点。...决策树的划分标准 决策树在每次划分时需要选择一个“最佳”的特征，该特征能够最大程度上提高数据的区分度。常见的划分标准包括信息增益、信息增益比、基尼指数和均方误差等。...2.4 均方误差（Mean Squared Error, MSE） 在**回归树（Regression Tree）**中，使用均方误差来衡量数据点偏离均值的程度。...对于数据集 中的目标值 ，均方误差定义为： 其中，^ 是数据集的平均值。 3....2.梯度提升决策树（GBDT）：GBDT通过在每一步迭代中最小化损失函数（如平方误差、对数损失等），逐步提高模型预测能力。GBDT具有较高的准确性，常用于回归和分类问题。
5.4 为什么分类比较不容易过拟合 由于这个解是线性化系统的极小范数解，因此我们期望，对于低噪声数据集，与交叉熵最小化相关的分类误差中几乎很少或没有过拟合。...这个结果与研究者将 [1] 中针对指数损失的结果扩展至非线性网络的结果一致。注意：目前本论文研究者没有对期望误差的性质做出任何声明。...在深度网络的实际应用中，通常会添加显性正则化（如权重衰减）和其他正则化技术（如虚拟算例），而且这通常是有益的，虽然并非必要，尤其是在分类任务中。 如前所述，平方损失与指数损失不同。...本研究分析通过将线性网络的特性（如 [1] 强调的那些）应用到深度网络，解释了深度网络泛化方面的难题，即不会过拟合期望分类误差。...他们证明损失函数（如 logistic、交叉熵和指数损失）最小化可在线性分离数据集上渐进、「缓慢」地收敛到最大间隔解，而不管初始条件如何。
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