平均上、下三角矩阵

是一种特殊的方阵，其中上（下）三角矩阵的元素在主对角线上方（下方）全为0，而主对角线及其上（下）方的元素可以是任意值。这种矩阵结构在数学和计算机科学中有广泛的应用。

优势：

空间效率高：由于上（下）三角矩阵中大部分元素为0，因此存储空间较小，节省了存储资源。
计算效率高：对于上（下）三角矩阵，许多运算可以通过简单的索引计算得出，从而减少了计算量。
适用于特定问题：上（下）三角矩阵常用于解线性方程组、矩阵分解、数值计算等领域，特别适用于具有稀疏性质的问题。

应用场景：

线性方程组求解：上（下）三角矩阵可以简化线性方程组的求解过程，提高计算效率。
矩阵分解：上（下）三角矩阵可以用于矩阵LU分解、Cholesky分解等数值计算中。
图论算法：在图论算法中，上（下）三角矩阵可以用于表示图的邻接矩阵，从而进行图的遍历、最短路径等操作。

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下三角矩阵

**下三角矩阵(lower triangular):**M是一个下三角矩阵，当且仅当i<j时，M(i,j)=0 在一个n行的下三角矩阵中，非0区域的第一行有1个元素，第二行有2个元素，……第n行有个元素...在一个上三角矩阵中，非0区域的第一行有n个元素，第二行有n-1个元素，……，第n行有1个元素。这两种三角形非0区域共有n(n+1)/2个非零元素。考察一个下三角矩阵的元素L(i,j)。...lowerTriangularMatrix.cpp /* * 下三角矩阵的测试函数 * lowerTriangularMatrix.cpp */ #include #include"lowertriangularmatrix.h...x.get(10,14) << endl; cout << x.get(8,5) << endl; return 0; } lowerTriangularMatrix.h /* * 下三角矩阵的类定义...void set(int,int,const T&);//设置矩阵元素值 private: int n;//矩阵非零元素最大个数 T *element;//矩阵中元素存储所在数组

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Python求逆矩阵_3x3下三角矩阵求逆矩阵

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【PTA】7-3 判断上三角矩阵 (15分)

因为一个小问题，调试了好久 555555 上三角矩阵指主对角线以下的元素都为0的矩阵；主对角线为从矩阵的左上角至右下角的连线。本题要求编写程序，判断一个给定的方阵是否上三角矩阵。...输入格式：输入第一行给出一个正整数T，为待测矩阵的个数。接下来给出T个矩阵的信息：每个矩阵信息的第一行给出一个不超过10的正整数n。随后n行，每行给出n个整数，其间以空格分隔。...输出格式：每个矩阵的判断结果占一行。如果输入的矩阵是上三角矩阵，输出“YES”，否则输出“NO”。

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失真函数、失真矩阵与平均失真

失真矩阵将所有的 d(x_{i}, y_{j}) 排列起来, 用矩阵表示为: \mathrm{d}=\left[\begin{array}{ccc} d\left(a_{1}, b_{1}\right...采用汉明失真，请写出失真矩阵。...(a_{i}, b_{j}\right) 失真函数 d(x_{i}, y_{j}) : 描述了某个信源符号通过传输后失真的大小平均失真 \bar{D} : 描述某个信源在某一试验信道传输下的失真大小..., 它对信源和信道进行了统计平均, 是从总体上描述整个系统的失真。...信道矩阵如下图所示，已知信源符号等概，采用汉明失真，求平均失真。

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13.高斯消去法（2）——三角矩阵

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矩阵求导术（下）

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一维数组&二维数组&对称矩阵&三角矩阵&三对角矩阵地址的计算

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SciPy 稀疏矩阵（4）：LIL（上）

“ 上回说到，无论是 COO 格式的稀疏矩阵还是 DOK 格式的稀疏矩阵，进行线性代数的矩阵运算的操作效率都非常低。...矩阵和向量组是线性代数中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。矩阵可以看作是向量组的扩展，而向量组则可以看作是矩阵的特例。矩阵是由若干行和若干列组成的二维数组，而向量组则是由若干向量组成的集合。...在形式上，矩阵是由若干行和若干列组成的，每一行和每一列都有一定的顺序。这个顺序就决定了矩阵是一个有序向量组。也就是说，矩阵中的元素按照一定的规则排列，这个规则规定了每个元素的位置和方向。...实际上，稀疏向量的存储策略主要可以分为两种：二元组容器法和两个序列法。...实际上，基于稀疏向量的稀疏矩阵的存储策略主要可以分为两种：稀疏向量序列法和索引值分离法。

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化三角矩阵计算行列式的算法实现

利用矩阵在任意行/列加减其他行列的任意倍后行列式不变的性质，化为三角矩阵后，计算主对角线元乘积求解。前者的复杂度是 O(n!)...而通过化三角矩阵，我们可以用 O(n^3) 的复杂度完成行列式的求解。对于同样的矩阵，我们只需要进行 1 \times 10^9 的运算。这对于中小规模的矩阵已经足够快速了。...Theory 通过性质 1，我们可以对矩阵进行变换，将其化为三角矩阵，从而通过性质 2 的方法求解行列式。先从一个具体的例子入手。...反复消去，就能得到一个上三角矩阵。 ---- 但这里需要注意一个 corner case：a_{i,i} = 0 怎么办。...因此在算法过程中需要在交换时额外处理一下。 ---- 进一步的 corner case：假如第 i 行到第 n 行的第 j 列全都为零呢？

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Python使用扩展库numpy计算矩阵加权平均值

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【数据结构】数组和字符串（三）：特殊矩阵的压缩存储：三角矩阵、对称矩阵——一维数组

三角矩阵：指上三角或下三角的元素都为零的矩阵。同样地，只需存储其中一部分非零元素，可以节省存储空间。对称矩阵：指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵。...对角矩阵的压缩存储【数据结构】数组和字符串（二）：特殊矩阵的压缩存储：对角矩阵——一维数组 b. 三角矩阵的压缩存储三角矩阵分为上三角矩阵和下三角矩阵。...方阵M是上三角矩阵，当且仅当i > j时有M(i, j)=0 . 方阵M是下三角矩阵，当且仅当i < j时有M(i,j)=0 。...因为对称矩阵中M(i, j)与M(j, i)的信息相同，所以只需存储其上三角部分或下三角部分的元素信息。...要实现对称矩阵的压缩存储，只需要在上述下三角矩阵的压缩存储上稍作修改即可：元素设置 void setElement(SymmetricMatrix *matrix, int row, int col,

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SciPy 稀疏矩阵（4）：LIL（下）

在这种表示下，研究人员可以分析用户间的互动模式、信息传播路径以及社区结构等。此外，无向图还在电路设计、物流优化、生物信息学等领域有着广泛的应用。...邻接矩阵是一种用于表示图的矩阵形式，对于图中的每一个顶点，邻接矩阵中的对应行和列表示了该顶点与其他所有顶点的连接关系。...邻接矩阵是一种用于表示图结构的矩阵形式。在邻接矩阵中，矩阵的行和列都对应图中的节点，而矩阵中的元素则表示节点之间的关系。...这种对称性使得我们在处理无向图的邻接矩阵时可以节省一些计算资源。例如，我们只需要计算矩阵的上三角或下三角部分，因为另一半可以通过对称性得到。...不同于无向图，因为在有向图中，如果存在节点 A 指向节点 B 的边，那么不一定存在节点 B 指向节点 A 的边，所以有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵（不能理解成：有向图的邻接矩阵一定不是对称矩阵！）。

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浙大版《C语言程序设计（第3版）》题目集习题7-3 判断上三角矩阵

习题7-3 判断上三角矩阵上三角矩阵指主对角线以下的元素都为0的矩阵；主对角线为从矩阵的左上角至右下角的连线。本题要求编写程序，判断一个给定的方阵是否上三角矩阵。...输入格式：输入第一行给出一个正整数T，为待测矩阵的个数。接下来给出T个矩阵的信息：每个矩阵信息的第一行给出一个不超过10的正整数n。随后n行，每行给出n个整数，其间以空格分隔。...输出格式：每个矩阵的判断结果占一行。如果输入的矩阵是上三角矩阵，输出“YES”，否则输出“NO”。

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《LeetCode-数组篇一》之杨辉三角与重塑矩阵

前言本专栏是LeetCode刷题笔记，记录一下自己的做题轨迹，更好的让自己复习这些令人头痛的题目。...题目描述给定一个非负整数 *numRows，*生成「杨辉三角」的前 numRows 行。在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。...杨辉三角（也称帕斯卡三角），它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。...杨辉三角图思路根据杨辉三角的性质每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n 行的第 i 个数等于第 n-1行的第 i-1 个数和第 i个数之和。...给你一个由二维数组 mat 表示的 m x n 矩阵，以及两个正整数 r 和 c ，分别表示想要的重构的矩阵的行数和列数。重构后的矩阵需要将原始矩阵的所有元素以相同的行遍历顺序填充。

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【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) （上）

平方根法(Cholesky decomposition) 一种矩阵运算方法，又叫Cholesky分解。所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解得到的求解对称正定方程组的一种有效方法。...它是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角矩阵的对角元也是大于零的。...这里不会详细介绍该方法的计算方法，简单说明一下该方法会带来哪些好处。 1.求逆矩阵我们都知道求一个矩阵的逆矩阵是一个非常耗时的过程，而对于一个上(下)三角矩阵而言，求逆矩阵就简单很多。...在介绍矩阵对角化之前简单回复一下相似矩阵(similar matrix) 的概念，即如果存在一个可逆矩阵\(P\)使得两个矩阵\(A,D\)满足\(D=P^{-1}AP\),那么则称\(A,D\)相似...没错，该步骤就表示在将坐标轴还原到传统意义上的坐标轴后对LB的单位圆按照特征值大小进行伸缩。 RB→LT: 对坐标轴进行变换。参考理解矩阵(一) 理解矩阵(二) 理解矩阵(三)

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【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) （下）

【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) （上） I. 奇异值分解(Singular Value Decomposition) 1....所以矩阵\(A\)的变换实际上是经过了三个步骤，如下图所示(为方便理解使用了二维和三维图像进行说明)： ? 假设左上角的单位圆是在\(R^n\)空间，其标准基用\(B=[v_1,v_2]\)表示。...在介绍SVD如何计算之前，首先回顾一下【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) （下）中介绍过任何对称矩阵都能对角化，其公式如下： \[S=S^T=PDP^T\...奇异值分解（SVD）下面对特征值分解\(A=PDP^{-1}\)和奇异值分解\(A=U\Sigma V^T\)作如下总结和对比： SVD对于任意矩阵都存在；而EVD只能在n阶方阵的基础上才能被定义，而且只有当方阵满秩...，即有n个独立的特征向量条件下才可以做特征值分解；特征值分解后得到的矩阵\(P\)不必须是正交矩阵，也就是说\(P\)可以起到伸缩和旋转的作用；而SVD中的\(U,V\)矩阵都必须是正交矩阵，所以这两个矩阵只能起到旋转变换的作用

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图的遍历（上）——邻接矩阵表示

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