最近一直围绕着方差，协方差，协方差矩阵在思考问题，索性就参考一些博文加上自己的理解去思考一些问题吧。...方差 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。...在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。...如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。 总结 必须要明确一点，协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。...理解协方差矩阵的关键就在于牢记它计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间，拿到一个样本矩阵，我们最先要明确的就是一行是一个样本还是一个维度，心中明确这个整个计算过程就会顺流而下，这么一来就不会迷茫了
接上篇：机器学习中的统计学——概率分布 在之前的几篇文章中曾讲述过主成分分析的数学模型、几何意义和推导过程（PS：点击即可阅读），这里面就要涉及到协方差矩阵的计算，本文将针对协方差矩阵做一个详细的介绍...，其中包括协方差矩阵的定义、数学背景与意义以及计算公式的推导。...协方差矩阵定义 矩阵中的数据按行排列与按列排列求出的协方差矩阵是不同的，这里默认数据是按行排列。即每一行是一个observation(or sample)，那么每一列就是一个随机变量。 ?...协方差矩阵： ? 协方差矩阵的维度等于随机变量的个数，即每一个 observation 的维度。在某些场合前边也会出现 1 / m，而不是 1 / (m - 1). 3....求解协方差矩阵的步骤 举个例子，矩阵 X 按行排列： ? 1. 求每个维度的平均值 ? 2. 将 X 的每一列减去平均值 ? 其中： ? 3. 计算协方差矩阵 ?
协方差的计算公式如下： 5.协方差矩阵 在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。...假设我们有三个n维随机变量X,Y,Z（一般而言，在实际应用中这里的随机变量就是数据的不同维度。切记：协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差。）...： 则n维随机变量X,Y,Z的协方差矩阵为： 其中每个元素值的计算都可以利用上面计算协方差的公式进行。...对于一个均值为μ，协方差矩阵为Σ的多变量行向量x（设x有m个分量，且每个分量都是n维列向量），其马氏距离矩阵为： 其中 可以发现，(x-μ)T是m×n矩阵，Σ是n×n矩阵，(x-μ)...是n×m矩阵，所以DM(x)是m×m矩阵，衡量的是向量x不同分量两两之间的马氏距离。
然后算法进行下面的步骤: 1、计算每个点的目标函数(Rastrigin) 2、更新均值、标准差和协方差矩阵，根据从目标函数中学到的信息，有效地创建一个新的多元正态分布 3、从新的分布中生成一组新的测试点...协方差矩阵将根据目标函数的位置改变分布的形状(圆形或椭圆形)，扩展到有希望的区域，并避开不好的区域。...CMAwM()稍微扩大了搜索空间(虽然它返回的解仍然是二进制向量)，可以以解除阻塞。 下图显示了CMA-ES代码寻找最佳解决方案的运行记录。热图显示了每一代每个特征的流行/流行程度(越亮=越受欢迎)。...每个向量分量(值0或值1)成为一个“基因”。通过应用进化和选择，有可能进化出一个个体群体，使其接近于我们感兴趣的目标函数的最佳值。 以下是GA的简要介绍。首先生成一群个体(向量)，每个向量的长度为n。...: 600525 time to best: 157.604 sec 下面的热图显示了各代中每个特征的受欢迎程度(颜色越亮=越受欢迎)。
p=10165 ---- 在实践中， 因子负载较低（或测量质量较差）的模型的拟合指数要好于因子负载较高的模型。...考虑顺序效应，两个项目可能具有独立于其共享因子的相关误差，这仅仅是因为一个项目跟随另一个项目（序列相关）。CFA（缺省值）中不存在此相关误差将对任何全局拟合指数产生负面影响。...SSV提出了一种调查模型规格不正确的方法，该方法涉及使用修改指数（MI），预期参数变化（EPC），理论和功率分析。EPC是约束关系如果可以由模型自由估计的值，则约束关系将从零变化。...MI和EPC之间的关系是： M I = （E P C / σ ）2MI=(EPC/σ)2 σσ SSV建议使用以下框架： （δ ）(δ) 对于因子载荷，绝对值> .4 对于相关误差，绝对值> .1 n...潜在变量模型中测量质量和拟合指数截止之间的棘手关系。“人格评估杂志”。
如果不去均值，第一主成分，可能会或多或少的与均值相关。[5] 2）归一化处理：将不同特征的数据范围归一化到同一范围中，一般将每个值除以当前维的最大值。...则样本集的协方差矩阵为： ? 协方差矩阵为n*n大小的方阵，具有n个特征向量。 其中协方差计算公式为： ? 计算协方差矩阵的特征向量及对应的特征值。 ? ...另外，特征向量之间相互正交，说明各特征之间相关性最小，基本接近0. 独立==>不相关协方差为零 至此，我们已经得到了数据变化的主次方向，现在我们需要计算样本在每个特征向量上的长度。...3）计算协方差矩阵 4）求出协方差矩阵的所有特征向量及对应的特征值。 5）根据特征值从大到小对应的特征向量，取出前k个特征向量组成一个特征矩阵u。 6）将原始数据旋转到特征矩阵u所在的空间中， ?...其主要过程是：首先利用样本集及特征构建一个样本矩阵，然后利用样本矩阵计算得到协方差矩阵，再计算协方差矩阵的特征值和特征向量，保留特征值前k大的特征向量作为新的维度方向。
从高层次来看，PCA有三个主要步骤： （1）计算数据的协方差矩阵 （2）计算该协方差矩阵的特征值和向量 （3）使用特征值和向量选择最重要的特征向量，然后将数据转换为这些向量以降低维数！...协方差矩阵只是一个数组，其中每个值基于矩阵中的x-y位置指定两个特征变量之间的协方差。公式是： ? 其中带有顶部线的x是X的每个特征的平均值向量。...我们协方差矩阵的特征向量（主成分）表示新特征空间的向量方向，而特征值表示这些向量的大小。...由于我们正在研究协方差矩阵，因此可以认为特征值量化了每个向量所贡献出的方差。 如果特征向量具有相应的高量级的特征值，则意味着我们的数据在特征空间中沿着该向量具有高方差。...找到在表示数据时最重要的向量，并丢弃其余的向量。在numpy中，计算协方差矩阵的特征向量和特征值是非常简单的。计算之后，我们将根据它们的特征值按降序对特征向量进行排序。
减去均值后的pca x 步骤2：为所有维度生成协方差或相关矩阵 在下一步中，我们将捕获所有维之间的协方差信息。...为所有方差生成协方差和相关矩阵 在这个新的数学空间中，我们找到x 1和x 2之间的协方差，并以矩阵形式表示它，并获得如下所示的值： ?...在此过程中，我们得到两个输出，如下所示： 特征向量：这些是新数学空间的新维度，并且 特征值：这是这些特征向量中每一个的信息内容。它是每个特征向量上数据的散布或方差。...步骤4：对对应于各自特征值的特征向量进行排序 主成分协方差矩阵 在数学上，我们通过将给定矩阵乘以其转置形式来获得协方差矩阵。协方差矩阵不过是从sns.pairplot（）获得的对图的数字形式。...对图中的对角线显示变量如何表现，非对角线显示两个变量之间的关系，方式与协方差矩阵相同。
多元高斯分布 在一般的高斯分布模型中，我们计算 p(x)的方法是：通过分别计算每个特征对应的几率然后将其累乘起来，在多元高斯分布模型中，我们将构建特征的协方差矩阵，用所有的特征一起来计算 p(x)。...多元高斯分布计算步骤： 计算所有 m 个样本 (每个样本都可以表示为一个 1 _ n 的向量)每个特征的平均值(对应特征求平均) 所以 也是一个 1 _ n 的向量，向量中的每个单元都是所有样本对应特征的平均值...的偏差 通过协方差矩阵，在不改变两个特征的原有偏差的基础上，增加两者之间的正相关性 通过协方差矩阵，在不改变两个特征的原有偏差的基础上，增加两者之间的负相关性 多元高斯分布模型与原高斯分布模型的关系...可以证明的是，原本的高斯分布模型是多元高斯分布模型的一个子集，即像上图中的第 1、2、3，3 个例子所示，如果协方差矩阵只在对角线的单位上有非零的值时，即为原本的高斯分布模型了。...特征冗余(比如两个向量间线性相关，有加法或乘法的关系)也会导致协方差矩阵不可逆 原高斯分布模型被广泛使用着，如果特征之间在某种程度上存在相互关联(线性相关)的情况，可以通过构造新特征的方法来捕捉这些相关性如果训练集不是太大
而我们最感兴趣的是多元高斯分布，其每个随机变量都呈正态分布，联合分布也是高斯的。一般来说，多元高斯分布由均值向量 μ 和协方差矩阵 Σ 定义。...均值向量μ 描述了该分布的期望值，它的每个组件描述了对应维度的均值。Σ 对每个维度的方差进行建模，并确定不同随机变量之间的关联。...每个随机变量的标准差在协方差矩阵的对角线上，而其它的值则显示了它们之间的协方差。 ? ? 这是一个互动式的图，通过拖动图中的三个点，你可以调节每个维度上的方差，以及两个随机变量之间的关联。...由于核函数描述的是函数值之间的相似度，它便控制了这个拟合函数可能拥有的形状。注意，当我们选择一个核函数时，我们要确保它生成的矩阵遵循协方差矩阵的属性。 核函数被广泛应用于机器学习，比方说支持向量机。...对于每个核函数，我们用 N=25 个呈线性、范围在 [-5,5] 的点生成协方差矩阵。矩阵中的元素显示出点和点之间的协方差，取值在 [0,1] 之间。 ? 上图展示了高斯过程可以使用的各种核函数。
此时我们期望在Q^T的作用下，Y 的向量表示中，不同维度之间是相互独立的，此时Y 的协方差矩阵应该是一个对角矩阵（除对角线元素外，其余元素均为0）。...Y 的均值：u_{Y}=Q^{T} u_{X} Y 的协方差矩阵： image.png 从这里可以发现，当 Q 是\Sigma_{X}的特征向量组成的矩阵时，\Sigma_{Y} 一定是对角矩阵，...且值为每个特征向量对应的特征值。...\Sigma_{Y}的对角线元素含义为Y中每个向量的方差，因此均为非负值，从这个角度可以说明协方差矩阵的特征值为非负值。...而且事实上协方差矩阵本身就是半正定的，特征值均非负 不相关与独立的问题： 此处我们说明了变换后的向量之间相关系数为0，也就是向量之间不相关 而事实上独立是比不相关更强的约束，不相关往往不能推出独立
.协方差矩阵 在机器学习中，计算两个特征 、（都看成列向量的形式）的协方差公式为 式中 表示 个样本，上面除以 是为了无偏估计。...而由两个特征 、 定义的协方差矩阵为， 如果有多个特征，记为 ，，... ，，它们的协方差矩阵为， 协方差矩阵衡量的是数据的不同坐标分量两两之间一起变化的程度。...简化形式 如果将这些特征 先分别零中心化，即每列元素减去该列的平均值，再按列组装成矩阵 ，那么此时的协方差矩阵可以简写为， 接下来我们用两种方法来得到 PC。....特征分解 由于协方差矩阵是一个半正定对称矩阵，因此我们可以对它作特征分解， 可以看到，协方差矩阵被分解为由特征向量按列组成的矩阵 以及由特征值组成的对角矩阵 。...4左奇异向量 从前文中，大家已经看到了 PCA 和 SVD 之间的联系了。最后，我们来试图对最终得到的 PC 从奇异值分解的角度作进一步的解读。 我们知道，新的特征矩阵可以这么计算，。
3.对PCA中的特征向量和特征值的理解 协方差理解： 对于一个样本集合S，如果每个样本是一个n维空间中的一个列向量，则使用协方差矩阵描述样本之间的变化程度， 协方差矩阵的定义式： ?...协方差矩阵C是一个n*n维的方阵，协方差矩阵的元素值代表了样本集在对应方向上的方差，例如：C的对角线上的元素C(i,i)代表了样本集在第i个维度上的方差，也即代表样本集在第i个维度上的能量。...特征值和特征向量： 在协方差矩阵的基础上进一步理解特征值和特征向量，之前已述，协方差矩阵表示了样本集在原n维空间中各个方向上的能量分布，通过对协方差矩阵求特征向量，实际上找到的是在原n维空间中的一些特定的方向...PCA正式基于这一点，删掉对应特征值小的方向，只保留主要的方向，达到降维的目的。 对于协方差矩阵计算特征向量的一个性质： 假设有样本集Xi(i=1,......,m)，每个样本Xi的维度为n，Xi的均值为0向量，则协方差矩阵C=X*X'，其中X=(X1,X2,...
下文中我们会计算数据中的特征向量（主成分），然后计算散布矩阵（scatter_matrix）中（也可以从协方差矩阵中计算）。每个特征向量与特征值相关，即特征向量的“长度”或“大小”。...如果发现每个特征值都很小，那就可以说明我们的原始数据就已经是一个“好的”空间了。但是，如果有些特征值比其他值要大得多，我们只需要关注那些特别大的特征值，因为这些值包含了数据分布情况的绝大部分信息。...因为散步矩阵和协方差矩阵非常类似，散布矩阵乘以（1/N-1）就是协方差，所以他们的特征空间是完全等价的（特征向量相同，特征值用一个常数（1/N-1，这里是1/39）等价缩放了）。...协方差矩阵如下所示： ? ? 结果： ? 6.计算相应的特征向量和特征值 ? 结果： ?...其实从上面的结果就可以发现，通过散布矩阵和协方差矩阵计算的特征空间相同，协方差矩阵的特征值*39 = 散布矩阵的特征值 当然，我们也可以快速验证一下特征值-特征向量的计算是否正确，是不是满足方程 ?
一般来说，多元高斯分布由均值向量 μ 和协方差矩阵 Σ 定义。 均值向量μ 描述了该分布的期望值，它的每个组件描述了对应维度的均值。Σ 对每个维度的方差进行建模，并确定不同随机变量之间的关联。...每个随机变量的标准差在协方差矩阵的对角线上，而其它的值则显示了它们之间的协方差。 这是一个互动式的图，通过拖动图中的三个点，你可以调节每个维度上的方差，以及两个随机变量之间的关联。...我们通过求核函数 k 的值来生成协方差矩阵，这个核函数通常也被称为协方差函数，作用在两两成对的所有测试点上。核函数接收到的输入是两个点 返回的是一个标量，表达了这两个点之间的相似度。...由于核函数描述的是函数值之间的相似度，它便控制了这个拟合函数可能拥有的形状。注意，当我们选择一个核函数时，我们要确保它生成的矩阵遵循协方差矩阵的属性。 核函数被广泛应用于机器学习，比方说支持向量机。...对于每个核函数，我们用 N=25 个呈线性、范围在 [-5,5] 的点生成协方差矩阵。矩阵中的元素显示出点和点之间的协方差，取值在 [0,1] 之间。 上图展示了高斯过程可以使用的各种核函数。
目录： 为什么学习线性代数 机器学习中的线性代数 损失函数 正则化 协方差矩阵 支持向量机分类器 降维中的线性代数 主成分分析（PCA） 奇异值分解（SVD） 自然语言处理中的线性代数 词嵌入（Word...假设预测值存储在向量P中，并且真实值存储在向量E中。P-E是它们之间的差异。P-E的范数就是预测的总损失。 2. 正则化 正则化是数据科学中非常重要的概念。它是用来防止模型过拟合的方法。...我们想研究变量对之间的关系。协方差或相关性是用于研究两个连续变量之间关系的度量。 协方差表示变量之间线性关系的方向。正协方差表示一个变量的增加或减少在另一个变量中同样增加或减少。...支持向量机是一种判别分类器，通过查找决策面来工作。它是一种有监督的机器学习算法。 在此算法中，我们将每个数据项绘制为n维空间中的点（其中n是特征数），每个特征的值是特定坐标的值。...在不深入数学的情况下，这些方向就是数据的协方差矩阵的特征向量。 ? 方阵的特征向量是特殊的非零向量，即使在对矩阵应用线性变换（乘法）之后，其方向也不会改变。它们显示为下图中的红色矢量： ?
也就是说，当B的模为1的时候，也就是单位向量的时候，内积可以表示为： ? 也就是A与B的内积值等于A向B所在直线投影的矢量长度。 2....协方差 如果单纯地选择方差最大的方向，则无法保证两个字段之间相互独立，因为我们需要的是尽可能多地保留原始信息，但又是相互独立，这里我们引入一下概念，协方差，用来表示两个字段的相关性，公式为： ?...协方差矩阵 在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。 假设存在矩阵X： ? 其协方差矩阵为： ?...1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X 2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值 3）求出协方差矩阵C=1mXXT 4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量 5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵...1）均值归0：目前每个维度的均值均为0，无需变换。 2）求协方差矩阵 ? 3）求解特征值以及特征向量 ? ?
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