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【技术分享】迭代再加权最小二乘

1 原理迭代再加权最小二乘(IRLS)用于解决特定的最优化问题，这个最优化问题的目标函数如下所示： $$arg min_{\beta} \sum_{i=1}^{n}|y_{i} - f_{i}(\...在每次迭代中，解决一个带权最小二乘问题，形式如下： $$\beta ^{t+1} = argmin_{\beta} \sum_{i=1}^{n} w_{i}(\beta^{(t)}))|y_{i} -...每次迭代中，通过下面的公式更新。...$$W_{i}^{(t)} = |y_{i} - X_{i}\beta^{(t)}|^{p-2}$$ 2 源码分析在spark ml中，迭代再加权最小二乘主要解决广义线性回归问题。...} def fitted(eta: Double): Double = family.project(link.unlink(eta)) 这里的model.predict利用带权最小二乘模型预测样本的取值

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最小二乘问题详解1：线性最小二乘

笔者之前对最小二乘问题也只是一知半解，这里就详细学习总结一下。 2....最小二乘 2.1 定义最小二乘是一种从有误差的数据中寻找最佳拟合模型的数学方法，它的核心思想是让模型的预测值与实际观测值之间的“误差平方和”最小。...这意味着任何局部最小值就是全局最小值，在求解优化问题的时候，可以通过梯度下降等算法收敛到全局最优。 2.2 线性最小二乘问题可以分为线性最小二乘和非线性最小二乘来讨论。...因此，要研究最小二乘，首先需要理解线性最小二乘。 3. 线性最小二乘 3.1 定义需要明确指出的是，问题模型的线性还是非线性，是相对于待定参数 \theta 而言的，而不是已知参数 x 。...A^T A 是方阵，在满秩的情况下可以求逆矩阵，其解为： \theta^* = (A^T A)^{-1} A^T b \tag{3} 这个解其实就是最小二乘公式(2)的解，即最小二乘解。

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最小二乘问题详解7：正则化最小二乘

引言在之前的文章《最小二乘问题详解4：非线性最小二乘》、《最小二乘问题详解5：非线性最小二乘求解实例》和《最小二乘问题详解6：梯度下降法》中分别介绍了使用Gauss-Newton方法（简称GN方法）和梯度下降法求解最小二乘问题之后...问题复习《最小二乘问题详解2：线性最小二乘求解》中讨论的标准线性最小二乘问题： \min_{\theta} \|A\theta - b\|^2 其解为正规方程 A^T A \theta = A^T...过拟合（Overfitting）：当模型参数过多或特征维度很高时，标准最小二乘倾向于拟合训练数据中的噪声，导致泛化能力差。...5.1 QR分解将正则化最小二乘问题转化为一个更大的最小二乘问题： \min_{\theta} \left\| \begin{bmatrix} A \\ \sqrt{\lambda} I \end{bmatrix...实例如果线性最小二乘问题的设计矩阵 A 接近线性相关，那么普通方法求得的解不稳定，可以使用岭估计来给出稳定解。

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最小二乘问题详解3：线性最小二乘实例

引言在上一篇文章《最小二乘问题详解2：线性最小二乘求解》中笔者详细介绍了如何求解线性最小二乘问题，一般使用QR分解或者SVD分解法，这里笔者就实现一个具体的案例来验证一下。 2....这也是笔者在《最小二乘问题详解1：线性最小二乘》中强调的一点：最小二乘问题是线性还是非线性，需要通过待定值来判断。...使用 Eigen 求解最小二乘 // ======================== Vector4d theta_x = A_x.colPivHouseholderQr().solve(b_x...本例使用的QR分解法求解的线性最小二乘问题，如果想使用SVD也很简单，可以将colPivHouseholderQr替换成如下接口： Vector4d theta_x = A_x.bdcSvd(Eigen...精度 3.1 引出虽然把最小二乘解求出来了，不过笔者更加关心一个问题，那就是求解的精度是多少？

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最小二乘问题详解2：线性最小二乘求解

引言复习上一篇文章《最小二乘问题详解1：线性最小二乘》中的知识，对于一个线性问题模型： f(x; \theta) = A\theta 那么线性最小二乘问题可以表达为求一组待定值 \theta ，使得残差的平方和最小...： \min_{\theta} \|A\theta - b\|^2 本质上是求解超定线性方程组： A\theta = b 具体的线性最小二乘解是： \theta^* = (A^T A)^{-1} A...求解 2.1 问题虽然线性最小二乘解已经给出，但是并不意味着在实际的数值计算中就能按照式(1)来进行求解。...而 y_2 （对应零奇异值的分量）在正规方程中不受约束——这反映了在列秩不足时普通最小二乘解不是唯一的（可以在零空间方向任意加解）。为得到最小范数解（惯常的选择），取 y_2=0 。...若秩亏，它给出在所有最小二乘解中范数最小的那个（minimum-norm solution）。

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最小二乘问题详解4：非线性最小二乘

不过，在继续阅读本文之前，一定要先理解之前的3篇文章，因为线性最小二乘是求解非线性最小二乘问题的基础：《最小二乘问题详解1：线性最小二乘》《最小二乘问题详解2：线性最小二乘求解》《最小二乘问题详解...Gauss-Newton 求解非线性最小二乘问题最基础最好理解的就是Gauss-Newton方法，它结合了牛顿法的迭代优化框架（就是高中数学中迭代逼近求解平方根的过程）和高斯的线性化思想，所以将其称为Gauss-Newton...它的算法流程如下：初始化：选一个初始猜测 \theta_0 迭代：对 k = 0, 1, 2, \dots a....可能这个算法流程可能还是有点抽象，我们将其中一次迭代的过程论述的更清楚一些：在 \theta_k 处做一阶泰勒展开。...这就是我们说的非线性最小二乘求解的基础是线性最小二乘的原因了，非线性最小二乘问题的每次迭代过程就是一个线性最小二乘子问题。

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最小二乘问题详解5：非线性最小二乘求解实例

引言在上一篇文章《最小二乘问题详解4：非线性最小二乘》中，介绍了非线性最小二乘问题的基本定义、求解思路及其核心算法Gauss-Newton方法，强调通过局部线性化将非线性问题转化为迭代的线性最小二乘子问题来求解...由于非线性最小二乘问题起来比线性最小二乘复杂多了，这里就通过一个拟合曲线 y = \exp(a x^2 + b x + c) 的实例来加深对非线性最小二乘问题的理解。 2....实例其实要求解非线性最小二乘问题可以使用现成的库（比如Ceres Solver），不过本文主要为了理解非线性最小二乘的求解过程，尤其是Gauss-Newton方法。...// 更新参数: theta = theta + delta theta += delta; } 初值选择不太容易，需要对求解问题的领域知识有一定的先验经验，或者通过使用近似的线性最小二乘问题的解作为初值...Gauss-Newton也理论上易于理解的方法，更加工程化的实践需要使用Levenberg-Marquardt算法。

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线性回归---（最小二乘）

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。误差的平它通过最小化方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。...最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。...---- 上数值分析课的时候像是发现了新大陆，“最小二乘”不光是在解“矛盾方程”使用，在机器学习中也有使用，例如“线性回归”问题就是利用最小二乘的思想实现。

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总体最小二乘（TLS）

总体最小二乘是一种推广最小二乘方法，本文的主要内容参考张贤达的《矩阵分析与应用》。 1. 最小二乘法最小二乘法，大家都很熟悉，用在解决一超定方程 ? 。...最小“二”乘的“二”体现在准则上——令误差的平方和最小，等价于 ? 最小二乘解为(非奇异) ? 可以从多个角度来理解最小二乘方法，譬如从几何方面考虑，利用正交性原理导出。...3.总体最小二乘如果说模型是完全正确的，我们根本不需要考虑算法的稳定性（当然，由于计算机计算时会有截位，所以这是不可能的）。道理很简单，没有扰动，为何需要分析稳定性呢？...此时最小二乘解方差相对于矩阵无扰动下增加倍数等于 ? 我们知道其根源在于没有考虑矩阵 ? 的扰动，在这一情况下，为了克服最小二乘的缺点，引入了总体最小二乘方法。...算法对扰动的敏感度要低，我们对算法的敏感度要高才好。

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最小二乘问题详解9：使用Ceres求解非线性最小二乘

1 引言在上一篇文章《最小二乘问题详解8：Levenberg-Marquardt方法》中，笔者使用 Eigen 实现了求解非线性最小二乘问题的 Levenberg-Marquardt 方法。...不过在实际的工程实践中，更多的是使用像 Ceres Solver 这样成熟的、专门用于求解大规模非线性最小二乘问题的库。...还是求解与《最小二乘问题详解8：Levenberg-Marquardt方法》一样的最小二乘问题，模型函数为： f(x; \boldsymbol{\theta}) = \exp(a x^2 + b x +...但是，对于用户来说更加熟悉的是最小二乘问题的残差，也就是 y - f(x; \boldsymbol{\theta}) 。...实践尽管笔者在上一篇文章《最小二乘问题详解8：Levenberg-Marquardt方法》中手写实现了 Levenberg-Marquardt（LM）算法，但是求解非线性最小二乘问题是一个很复杂的工程

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Spark Mlib ALS 交替最小二乘算法（学习笔记）

一、ALS交替最小二乘法 ALS是交替最小二乘的简称（alternating least squares）的简称。在机器学习的上下文中，ALS特指使用交替最小二乘求解的一个协同推荐算法。

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【技术分享】交换最小二乘

1 什么是ALS ALS是交替最小二乘（alternating least squares）的简称。在机器学习中，ALS特指使用交替最小二乘求解的一个协同推荐算法。...交换最小二乘算法是分别固定用户特征矩阵和商品特征矩阵来交替计算下一次迭代的商品特征矩阵和用户特征矩阵。通过下面的代码初始化第一次迭代的特征矩阵。...（6）利用inblock和outblock信息构建最小二乘。构建最小二乘的方法是在computeFactors方法中实现的。...有了这些信息，构建最小二乘的数据就齐全了。...这里有两个选择，第一是扫一遍InBlock信息，同时对所有的产品构建对应的最小二乘问题；第二是对于每一个产品，扫描InBlock信息，构建并求解其对应的最小二乘问题。

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R语言中的偏最小二乘PLS回归算法

p=4124 偏最小二乘回归：我将围绕结构方程建模（SEM）技术进行一些咨询，以解决独特的业务问题。我们试图识别客户对各种产品的偏好，传统的回归是不够的，因为数据集的高度分量以及变量的多重共线性。...Haenlein，M＆Kaplan，A.，2004年，“初步指南偏最小二乘分析”，Understanding Statistics，3（4），283-297中可以找到关于这个限制的有趣讨论。...std.coefs标准系数 $ reg.coefs常规系数 $ R2 R平方 $ R2Xy解释Xy的方差T $ y.pred y-预测 $ resid 残差 $ T2 T2经济系数 Q2第二季度交叉验证这个包中有很多

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SLAM算法＆技术之Gauss-Newton非线性最小二乘算法

编辑丨点云PCL 前言很多问题最终归结为一个最小二乘问题，如SLAM算法中的Bundle Adjustment，位姿图优化等等。求解最小二乘的方法有很多，高斯-牛顿法就是其中之一。...推导对于一个非线性最小二乘问题： ? 高斯牛顿的思想是把 f(x)利用泰勒展开，取一阶线性项近似。 ? 带入到(1)式： ? 对上式求导，令导数为0。 ? 令 ? 式（4）即为 ?...我们可以构建一个最小二乘问题： ? 要求解这个问题，根据推导部分可知，需要求解雅克比。 ? 使用推导部分所述的步骤就可以进行解算。...它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。最小平方问题分为两种：线性最小二乘法，和非线性的最小二乘法，取决于在所有未知数中的残差是否为线性。...线性的最小平方问题发生在统计回归分析中；它有一个封闭形式的解决方案。非线性的问题通常经由迭代细致化来解决；在每次迭代中，系统由线性近似，因此在这两种情况下核心演算是相同的。

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最小二乘回归的Python实现

写在前面我们构建了非常强大的私募基金数据库，并基于这个数据库，衍生出了FOF Easy数据可视化终端和FOF Power组合基金管理系统，涉及到非常多复杂的模型及算法。...回归分析是实现从数据到价值的不二法门。它主要包括线性回归、0-1回归、定序回归、计数回归，以及生存回归五种类型。我们来讨论最基础的情况——一元线性回归。...最常见的拟合方法是最小二乘法，即OLS回归。它时刻关注着实际测量数据，以及拟合直线上的相应估计值，目的是使二者之间的残差有最小的平方和。...即：为了使残差的平方和最小，我们只需要分别对a、b求偏导，然后令偏导数等于0。立即推出a、b值：总之，OLS回归的原理是，当预测值和实际值距离的平方和最小时，我们就选定模型中的参数。...这时我们如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，就会产生一系列不良的后果，如：参数估计量非有效、变量的显著性检验失去意义、模型的预测失效等。所以，在本文中我们首先进行简单的ols回归。

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统计学习：最小二乘实例

2．统计学习方法三要素——模型、策略、算法，对理解统计学习方法起到提纲挈领的作用。...本书中介绍的统计学习方法包括感知机、近邻法、朴素贝叶斯法、决策树、逻辑斯谛回归与最大熵模型、支持向量机、提升方法、EM算法、隐马尔可夫模型和条件随机场。这些方法是主要的分类、标注以及回归方法。...最小二乘法拟合曲线 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-la7a6TQ4-1597652222270)(https://i.loli.net/2020/08/17

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【技术分享】非负最小二乘

把极小化这类函数的问题称为最小二乘问题。...由于$f_{i}(x)$为非线性函数，所以（1.2）中的非线性最小二乘无法套用（1.6）中的公式求得。解这类问题的基本思想是，通过解一系列线性最小二乘问题求非线性最小二乘问题的解。...在$x^{(k)}$时，将函数$f_{i}(x)$线性化，从而将非线性最小二乘转换为线性最小二乘问题，用（1.6）中的公式求解极小点$x^{(k+1)}$ ，把它作为非线性最小二乘问题解的第k+1次近似...非负最小二乘问题要求解的问题如下公式其中ata是半正定矩阵。在ml代码中，org.apache.spark.mllib.optimization.NNLS对象实现了非负最小二乘算法。...NNLS对象中，sort方法用来解最小二乘，它通过迭代求解极小值。我们将分步骤剖析该方法。（1）确定迭代次数。

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【技术分享】带权最小二乘

我们使用下面的带权最小二乘公式作为目标函数： $$minimize_{x}\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \frac{w_i(a_i^T x -b_i)^2}{\sum_{k=1}^n...spark ml中使用WeightedLeastSquares求解带权最小二乘问题。WeightedLeastSquares仅仅支持L2正则化，并且提供了正则化和标准化的开关。...下面从代码层面介绍带权最小二乘优化算法的实现。 2 代码解析我们首先看看WeightedLeastSquares的参数及其含义。...solverType: WeightedLeastSquares.Solver = WeightedLeastSquares.Auto, val maxIter: Int = 100, // 迭代次数...tol表示迭代的收敛阈值，仅仅在solverType为QuasiNewton时可用。

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矛盾方程的最小二乘解

首先看两个个结论：结论一：方程组Ax=b的最小二乘解的通式为x=Gb+(I-GA)y, 其中G\in A\{1, 3\}, y是\mathbb C^n中的任意向量....结论二：只有A是满秩时, 矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解才是唯一的, 且为x_0=(A^HA)^{-1}A^Hb. 否则, 便有无穷多个最小二乘解....下面看一个实例：求矛盾方程组 \begin{cases}x_1+2x_2=1, \\2x_1+x_2=0, \\x_1+x_2=0\end{cases}的最小二乘解。...解：系数矩阵A=\left[\begin{matrix}1&2\\2&1\\1&1\end{matrix}\right] 为列满秩矩阵，故矛盾方程有唯一最小二乘解： A^{(1, 3)}=(A^HA)...\\kx_n+b=y_n\end{cases} 这里的k和b为变量，使用上述公式求解出k和b的值，则可以得到变量的最小二乘线性拟合方程。

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非线性最小二乘问题例题_非线性自适应控制算法

摘录的一篇有关求解非线性最小二乘问题的算法–LM算法的文章，当中也加入了一些我个人在求解高精度最小二乘问题时候的一些感触： LM算法，全称为Levenberg-Marquard算法，它可用于解决非线性最小二乘问题...LM算法的实现并不算难，它的关键是用模型函数 f 对待估参数向量p在其邻域内做线性近似，忽略掉二阶以上的导数项，从而转化为线性最小二乘问题，它具有收敛速度快等优点。...LM算法属于一种“信赖域法”——所谓的信赖域法，此处稍微解释一下：在最优化算法中，都是要求一个函数的极小值，每一步迭代中，都要求目标函数值是下降的，而信赖域法，顾名思义，就是从初始点开始，先假设一个可以信赖的最大位移...反之，在rk>0的情况下，都可以走到下一点，即xk+1=xk+sk · 迭代的终止条件：∥gk∥二维平面上的寻优过程（函数图像类似于抛物线）...，当接近极小值点时，迭代点的梯度趋于0）从上面的步骤可见，LM求解过程中需要用到求解线性方程组的算法，一般我们使用高斯约当消元法，因为它非常稳定——虽然它不是最快最好的算法。

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