用Stern-Brocot树求π的连分式

基础概念

Stern-Brocot树是一种二叉树，用于表示所有正有理数的集合。它的每个节点都包含一个分数，且这些分数按照从小到大的顺序排列。Stern-Brocot树的构造方法如下：

1. 树的根节点是分数1/1。
2. 如果一个节点的分数是a/b，那么它的左子节点的分数是a/(a+b)，右子节点的分数是(a+b)/b。

求π的连分式

π的连分式表示为：

π = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

这个连分式可以通过Stern-Brocot树来构造。具体步骤如下：

1. 从根节点1/1开始，向右移动，直到找到一个分数，其分子大于分母。
2. 记录这个分数，并将其作为新的起点。
3. 继续向右移动，直到找到下一个分数，重复上述过程。

相关优势

1. 精确性：Stern-Brocot树可以表示所有正有理数，因此可以用来构造高精度的π值。
2. 有序性：树中的分数是有序排列的，便于查找和计算。
3. 递归性：树的构造方法是递归的，便于编程实现。

应用场景

1. 数学研究：在数学中，Stern-Brocot树常用于研究有理数的性质和分布。
2. 计算机科学：在计算机科学中，Stern-Brocot树常用于实现高精度计算和分数运算。

示例代码

以下是一个用Python实现的示例代码，用于通过Stern-Brocot树求π的连分式：

def stern_brocot_tree(depth):
    a, b = 1, 1
    for _ in range(depth):
        yield a, b
        if a < b:
            a, b = a + b, b
        else:
            a, b = a, a + b

def pi_continued_fraction(depth):
    terms = []
    for a, b in stern_brocot_tree(depth):
        if a > b:
            terms.append(a // b)
    return 3 + sum(1 / (terms[i] + sum(1 / (terms[j] for j in range(i + 1, len(terms))))) for i in range(len(terms)))

# 示例：计算π的前10项连分式
print(pi_continued_fraction(10))

参考链接

• Stern-Brocot Tree
• Continued Fraction for π

通过上述方法和代码，可以有效地利用Stern-Brocot树来求解π的连分式。