本文将详细介绍线性回归中多重共线性问题，以及一种线性回归的缩减(shrinkage)方法 ----岭回归(Ridge Regression)，并对其进行了Python实现 多重共线性 多重共线性是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确...多重共线性对回归模型的影响 回归系数的估计值方差变大，回归系数的置信度变宽，估计的精确性大幅度降低，使得估计值稳定性变差。...岭回归在多元线性回归的损失函数上加上了正则项，表达为系数 的L2-范式（即系数 的平方项）乘以正则化系数 。...岭迹图 以正则化参数即岭参数 为横坐标，线性模型求解的系数即岭系数 为纵坐标的图像，其中每一条彩色的线都是一个岭系数 。...其目标是建立岭参数 与岭系数 之间的直接关系，以此来观察岭参数的变化如何影响了岭系数 的拟合。 岭迹图认为，线条交叉越多，则说明特征之间的多重共线性越高。
本系列是《玩转机器学习教程》一个整理的视频笔记。本小节主要介绍在线性回归中使用梯度下降法。 一 线性回归中的梯度下降法 前几小节为了更好的介绍梯度下降法的过程，我们将损失函数定义成二次曲线的形式。...在这一小节将梯度下降法真正的应用在线性回归中。 ? 此时将梯度下降法应用于线性回归中，相应的损失函数变成了真实值与预测值之间差值的平方之和，而参数不再是仅仅是一个theta而是一个向量θ。...对于简单线性回归此时的θ是包含两个参数的向量（其中一个是截距，另一个是样本唯一特征的系数）； 而对于样本中拥有n个特征的多元线性回归问题来说，此时的θ是包含(n+1)个参数的向量（其中一个是截距，另外n...二 线性回归中梯度下降法的公式推导 前几个小节介绍的线性回归损失函数如下所示，此时使用样本中有n个特征的多元线性回归问题为例，当然简单线性回归也是一样的。 ?...在一些资料看到，在线性回归中使用梯度下降法要优化的目标函数在MSE基础上除以2，如果损失函数这样取的话，就会和对损失函数J求导中平方拿出来的2约掉，其实就相当于J(θ)的梯度前的系数变成1/m。
文章目录 一、使用递推解法求解 " 线性常系数差分方程 " 二、" 线性常系数差分方程 " 初始条件的重要性 一、使用递推解法求解 " 线性常系数差分方程 " ---- 使用 " 线性常系数差分方程 "...+ \delta(2) = ( 1 + a )a ^2 \ \ \ \ \ \ \vdots 当 n = n 时 , y(n) = (1 + a)a^n u(n) \not= h(n) " 线性常系数差分方程..." 表示的不一定是 " 线性时不变系统 LTI " ; 二、" 线性常系数差分方程 " 初始条件的重要性 ---- 在上面的示例中 , 相同的 " 线性常系数差分方程 " y(n) = ay(n-1)...+ x(n) 相同的 " 输入序列 " x(n) = \delta(n) 由于 " 初始条件 " 不同 , y(-1) = 1 和 y(-1) = 0 这两个初始条件 , 得到的 解 , 也就是..." 输出序列 " 也不同 ; 如果 " 线性常系数差分方程 " 的 " 初始条件 " 不确定 , 则其相应的 " 解 " 也不能确定 ;
通过惩罚或“正则化”损失函数中的大系数，我们使一些(或所有)系数变小，从而使模型对数据中的噪声不敏感。 在回归中使用的两种流行的正则化形式是L1又名Lasso回归，和L2又名Ridge回归。...在线性回归中我们使用普通最小二乘(OLS)是用于拟合数据的:我们对残差(实际值与预测值之间的差异)进行平方，以得到均方误差(MSE)。最小的平方误差，或最小的平方，是最适合的模型。 ?...让我们来看看简单线性回归的成本函数: ? 对于多元线性回归，成本函数应该是这样的，其中?是预测因子或变量的数量。 ? 因此，随着预测器(?)数量的增加，模型的复杂性也会增加。...这将降低模型的复杂性，有助于防止过拟合，可能消除变量，甚至减少数据中的多重共线性。 L2 -岭回归 L2或岭回归，将?惩罚项添加到系数大小的平方?。?是一个超参数，这意味着它的值是自由定义的。...的绝对值，一些系数可以被精确地设置为零，而其他的系数则直接降低到零。当一些系数变为零时，Lasso回归的效果是特别有用的，因为它可以估算成本并同时选择系数。。
本系列是《玩转机器学习教程》一个整理的视频笔记。本小节主要介绍如何在线性回归中使用梯度下降法以及将梯度下降法封装在我们自己创建的线性回归类中。...一 线性回归中使用梯度下降法 首先创建一些拥有线性关系的样本，然后通过梯度下降法求解使得MSE损失函数值最小的参数，即为线性回归模型的截距和样本中相应特征的系数。 ? ? ? ? ? ?...二 将梯度下降法进行封装 接下来将梯度下降法封装在前面创建的LinearRegression线性回归类中，在LinearRegression类中创建一个名为"fit_gd"的函数： ?...接下来就是封装在LinearRegression类中的"fit_gd"函数： ? ? ? ? 接下来就可以在jupyter中调用我们封装的梯度下降法来求解线性回归模型： ?...这一小节我们使用自己构造的数据进行试验，并且在计算梯度下降法的时候并没有使用向量化的方式提高效率。因此在下一小节中，将在真实的数据上使用向量化的梯度下降法来求解线性回归模型。
输入一堆点并找到“完全”匹配趋势的曲线是令人兴奋的。但这如何工作？为什么拟合直线与拟合奇怪形状的曲线并不相同。每个人都熟悉线性最小二乘法，但是，当我们尝试匹配的表达式不是线性时，会发生什么？...提出问题 在某些情况下，线性回归是不够的。有时需要将一系列数据调整为非线性表达式。在这些情况下，普通最小二乘对我们不起作用，我们需要求助于不同的方法。...如您所见，Levenberg-Marquardt算法是梯度下降算法与高斯-牛顿算法的结合。因此，Levenberg-Marquardt算法的效率也高度依赖于初始猜测的选择以及阻尼系数[3]。...另外，阻尼因子的增加和减少也影响算法的性能。在每次迭代中，阻尼系数将乘以或除以一个系数，具体取决于前一次迭代的质量。通常，lambda增加2倍，减少3倍。 ?...但是，了解所有这些计算的来源始终很重要。进行线性和非线性回归是可以在数据分析和机器学习中完成的许多其他事情的基础。
基本形式 给定包含 条记录的数据集 ? ： ? 线性回归模型试图学习一个线性模型以尽可能地预测因变量 ? ： ?...显著性检验 在一元线性回归中，我们可以根据因变量和因变量的图像来检验是否符合线性关系。在多元线性回归中无法用图形帮助判断 ? 是否随 ? 作线性变化，因此显著性检验就显得尤为重要。...检验包括单个/多个回归系数的显著性检验和回归方程的整体显著性检验。 1.回归系数的显著性检验 对于任意一个参数 ? ，构造原假设与备择假设： ? 当 ? 成立时，我们构造 ?...的对角线上第 ? 个元素。给定显著性水平 ? ，检验的拒绝域为： ? 2.回归方程的显著性检验 构造原假设： ? 备择假设即 ? 不全为零，当原假设成立时，构造 ? 统计量： ?...给定显著性水平 ? ，检验的拒绝域为： ? 我们常使用 ? 来衡量回归直线对观测值的拟合程度， ? 表示总体利差平方和，这个思想和回归方程的整体显著性检验殊途同归。 参数区间估计 由 ?
在 C# 和 Javascript 语言下，讨论如何封装事件返回的回调 问题场景 比如有一个库中，有一个 send 方法，用于发送命令，然后需要等待返回值，但 send 方法本身没有返回值，而是通过另外的事件来获取返回值...伪代码如下： // 通过事件回调来接收命令执行结果foo.onDataReceive = (result) => { // receive result }// 发送命令foo.send("command...，在 C# 中使用的是 TaskCompletionSource 这个 API，Javascript 中使用的就是 Promise 尤其是 C# 中的这个 API，其实很简单，但是如果不知道，还真一时半会想不到特别优雅的方案...在 Javascript 中，Promise 的提出，作用之一就是为了解决回调地狱，所以这个方案在 Javascript 显得就很自然。...}); } }; sender.send(request, callback); }); },}; 好处 当然是让代码逻辑更清晰，将回调写法，变成线性执行
孩子的高度向着平均高度“回归”。 类型 回归按照方法可分为线性回归和非线性回归。线性回归适用线性方程来拟合曲线进行预测。在非线性回归中，特征之间出现非线性操作的可能性（比如相乘或者相除）。...非线性回归中有种特殊的类型--逻辑回归，和线性回归不同的是，它属于“分类”的问题，这是由于它适用曲线拟合的方式来解决分类问题，所以也被称为回归。...除了容易出现过拟合的问题外，局部加权线性回归的计算量也相当大，因为它对每个待遇测点做预测时都必须遍历整个数据集才能得出回归系数向量，使用时要加以注意。 岭回归 线性回归能够求解回归系数的前提是 ?...的行列式为0，则这种情况就不能求出回归系数。 岭回归中通过引入λI来使回归矩阵可解，则回归系数的矩阵变为： ?...可以看到岭回归在原来普通的线性回归的基础上加入了一个二范数惩罚项，其目的在于限制回归系数矩阵的取值，减少不必要的参数。 不同的λ将会得到不同的θ，反映不同的λ和θ的关系的图叫做岭迹图： ?
首先，分位数回归直接估计给定预测因子的响应变量的条件量值。这意味着，它不像蒙特卡罗模拟那样产生大量可能的结果，而是提供了响应变量分布的特定量级的估计值。...图(F)：置信区间与预测区间的区别 首先，它们的目标不同： 线性回归的主要目标是找到一条线，使预测值尽可能接近给定自变量值时因变量的条件均值。 分位数回归旨在提供未来观测值的范围，在一定的置信度下。...它估计自变量与因变量条件分布的不同量化值之间的关系。 其次，它们的计算方法不同： 在线性回归中，置信区间是对自变量系数的区间估计，通常使用普通最小二乘法 (OLS) 找出数据点到直线的最小总距离。...系数的变化会影响预测的条件均值 Y。 在分位数回归中，你可以选择依赖变量的不同量级来估计回归系数，通常是最小化绝对偏差的加权和，而不是使用OLS方法。...第三，它们的应用不同： 在线性回归中，预测的条件均值有 95% 的置信区间。置信区间较窄，因为它是条件平均值，而不是整个范围。 在分位数回归中，预测值有 95% 的概率落在预测区间的范围内。
有病被诊断无病，假阴性，Type II error 24 多变量线形回归假设检验 24.1 构建，应用和解释在多元线性回归中单个系数的假设检验和置信区间 多元假设线性回归检验某个系数的统计显著性流程 设定要检验的假设...解释P-value 是可以拒绝H0的最小显著水平 24.2 构建，应用和解释在多元线性回归中多个系数的假设检验 多元假设线性回归检验多个系数的统计显著性流程 设定要检验的假设 ?...24.4 解释引入多元系数的单一限制测试 把多元线性方程转换为单一系数来检验 ?...，p-value，和coefficient 则可以算出每个的置信区间： [Coeff-(critical t)(系数标准差),Coeff+(critical t)(系数标准差)] 24.6 识别多元线性回归中的...不忽略一些X得到一个包含X1回归模型，计算X1的unrestricted 3. 用F-test来检验两个模型是否同方差
，简单地了解一下算法和模型之间的区别： 模型就像一台自动售货机，你给它投适当的钱，它就会给你一罐汽水……算法是用来支配模型的，一个模型应该根据给定的输入做出准确的判断，已给出一个预期的输出。...例如，一个算法将根据给定货币价值、您选择的产品、货币是否足够、您应该获得多少余额等等来决定。 总之，算法是模型背后的数学生命力。...这个惩罚术语在数学上缩小了我们数据中的噪声。 在岭回归中，有时被称为“L2回归”，惩罚项是变量系数的平方和。...（线性回归中的系数基本上只是每个自变量的数字，这些数字告诉你每个自变量对结果变量的影响有多大。有时我们把它们称为“权重”。）在岭回归中，惩罚项缩小了自变量的系数，但实际上从来没有完全消除它们。...这意味着使用岭回归，您的模型将始终考虑数据中的噪声。 另一种类型的正则化是lasso，或“L1”正则化。在lasso正则化中，只惩罚高系数特征，而不是惩罚数据中的每个特征。
线性回归的标志，如名称所暗示的那样，即自变量与结果变量之间的关系是线性的，也就是说变量关系可以连城一条直线。 这看起来像我们上面做的！这是因为线性回归中我们的“回归线”之前的最佳实践线。...反之，任意给定的海拔，我们都可以做出预测。这就是线性回归最酷的地方！ 岭回归与LASSO回归 现在我们知道什么是线性回归，接下来还有更酷的，比如岭回归。在开始理解岭回归之前，我们先来了解正则化。...这个惩罚因子的作用是在数学计算中，缩小数据中的噪声。 在岭回归中，有时称为“L2回归”，惩罚因子是变量系数的平方值之和。惩罚因子缩小了自变量的系数，但从来没有完全消除它们。...该y值将是该x值在一个类别或另一个类别中的概率。 最大似然估计 你还记得我们是如何通过最小化RSS（有时被称为“普通最小二乘法”或OLS法）的方法在线性回归中找到最佳拟合线的吗？...基本上，我们希望找到最大化数据对数似然性的s曲线。我们只是继续计算每个log-odds行的对数似然（类似于我们对每个线性回归中最佳拟合线的RSS所做的那样），直到我们得到最大数量。
从最终的形式可以看出，逻辑回归就是用ln(p/1-p)来替换了线性回归中的因变量y， 所以说逻辑回归是在线性回归的基础上发展而来的一项技术，同时等式右边都是一个线性关系，二者同属于广义线性回归模型的一种...线性回归中的R2为预测数据的方差除以实际数据的方差，在逻辑回归中，因变量无法有效计算方差，所以逻辑回归的R2是一个假的R2，称之为pseudo R-Squareds, 有多种算法来计算该值，不同算法的出发点也不同...R2在线性回归中作为拟合优度的指标，而在逻辑回归中，我们已经有了AIC值这个指标了，所以R2显得没有那么重要。对于逻辑回归而言，有一个比较关注的指标就是log odd ratio。...Y为因变量，X为对应的二分类自变量，beta代表回归方程中x的回归系数，Z代表其他变量, 将上述公式进行log转换，可以看出x对应的log odd ratio值其实就是其回归系数。...在逻辑回归中，二分类自变量和因变量的关联性，用该自变量对应的回归系数，也就是log odd ratio来表征，其实这个概念也可以拓展到连续型的自变量上，只不过解释会稍有不同。
线性回归的标志，如名称所暗示的那样，即自变量与结果变量之间的关系是线性的，也就是说变量关系可以连城一条直线。 这看起来像我们上面做的！这是因为线性回归中我们的“回归线”之前的最佳实践线。...如果结果变量不是连续的，就可能出现在某个海拔，没有结果变量，导致我们没办法做出预测。 反之，任意给定的海拔，我们都可以做出预测。这就是线性回归最酷的地方！ ...这个惩罚因子的作用是在数学计算中，缩小数据中的噪声。 在岭回归中，有时称为“L2回归”，惩罚因子是变量系数的平方值之和。惩罚因子缩小了自变量的系数，但从来没有完全消除它们。...该y值将是该x值在一个类别或另一个类别中的概率。 最大似然估计 你还记得我们是如何通过最小化RSS（有时被称为“普通最小二乘法”或OLS法）的方法在线性回归中找到最佳拟合线的吗？ ...基本上，我们希望找到最大化数据对数似然性的s曲线。我们只是继续计算每个log-odds行的对数似然（类似于我们对每个线性回归中最佳拟合线的RSS所做的那样），直到我们得到最大数量。
给定一组数据其中包括特征矩阵 X , 目标变量向量 y : ? 其中 X 第一列为截距项，我们做线性回归是为了得到一个最优回归系数向量 w 使得当我们给定一个 x 能够通过 y=xw 预测 y 的值。...在标准线性回归中我们需要找到是误差最小的 w , 即预测的 y 值与真实的 y 值之间的差值，为了避免简单累加造成的正负差值相互抵消，这里采用了平方误差: ?...通过对上面得到的线性回归模型得到的预测的值与实际的值进行相关系数计算可以得到相关系数为 ?...表示回归系数， w 表示权重), 那么平方误差的表达式就变成: ? 通过矩阵可以表示成: ? 对 ? 求导等于0得到: ? 通过上面的公式，对于任意给定的未知数据可以计算出对应的回归系数 ?...LWLR的Python实现 本部分对局部加权线性回归进行Python实现，对于给定数据求取相应回归系数: ?
3 什么是不同类型的回归分析技术？ 由于存在许多不同的回归分析技术，因此很难找到非常狭窄的回归分析定义。大多数人倾向于将两种常见的线性或逻辑回归中的任何一种应用于几乎每个回归问题。...线性回归公式 在上面的等式中，hθ（x）是标准变量Y，X是预测变量，θ0是常数，并且θ1是回归系数 线性回归可以进一步分为多元回归分析和简单回归分析。...它们在任何两个给定值之间具有无限数量的值。示例包括视频的长度或收到付款的时间或城市的人口。 另一方面，分类变量具有不同的组或类别。它们可能有也可能没有逻辑顺序。示例包括性别，付款方式，年龄段等。...在线性回归中，因变量Y始终是连续变量。如果变量Y是分类变量，则不能应用线性回归。 如果Y是只有2个类的分类变量，则可以使用逻辑回归来克服此问题。这些问题也称为二元分类问题。...这是多项式回归方程的样子：y = a + b * x ^ 3 与线性回归不同，最佳拟合线是直线，在多项式回归中，它是适合不同数据点的曲线。这是多项式回归方程的图形： ?
当期望通过给定的自变量预测或解释计数型结果变量时，泊松回归是一个非常有用的工具。...在泊松回归中，响应变量以条件均值的对数形式loge(λ)来建模。...泊松回归中，正值的回归系数将转化为＞1的值，负值的回归系数将转化为的值。...然而泊松回归常伴随偏大离差的问题，也是不可忽视的，甚至会带来非常糟糕的误解。 偏大离差及评估 在线性回归中，常通过检查残差来评价模型，一个正态响应模型的残差分布的均值应该为0，标准差为常数。...输出结果列出了回归系数、标准误和参数为0的检验，准泊松回归和泊松回归的唯一区别在回归系数标准误的估计值上。 能够看到，各自变量在准泊松回归中的回归系数和先前泊松回归的相比，没有改变。
前面介绍的简单线性回归中，每一个样本只有一个特征，相应的也就只有一个系数，总共有2个参数，其中也包含一个截距。...简单线性回归与复杂线性回归的表达式是一致的，只不过样本的特征从1扩展到了n，相应的对应的系数也从1变成了n。求解多元线性回归与简单线性回归的思路是一致的： ?...在简单线性回归中，我们计算参数a(样本一个特征前的系数)以及参数b(截距)，使得损失函数尽可能的小。...前面从两个方面介绍为什么要使用这样的损失函数： 他是连续可导的； 他限制哪个最大的误差尽可能的小。 只不多在多元线性回归中，yi的表达式变成了多元的表示，而不再是简单的ax + b。...在机器学习中，有时候并不区分，都使用X来表示，但是在线性回归中其实样本矩阵X是多了一列的，这个课程为了保持严谨将加入第0个特征的样本矩阵表示成Xb。
线性回归是很基础的机器学习算法，本文将通俗易懂的介绍线性回归的基本概念，优缺点，8 种方法的速度评测，还有和逻辑回归的比较。 什么是线性回归？ ?...优点： 建模速度快，不需要很复杂的计算，在数据量大的情况下依然运行速度很快。 可以根据系数给出每个变量的理解和解释 缺点：不能很好地拟合非线性数据。所以需要先判断变量之间是否是线性关系。...线性回归中的“线性”指的是系数的线性，而通过对特征的非线性变换，以及广义线性模型的推广，输出和特征之间的函数关系可以是高度非线性的。...对于多个解释变量，该过程称为多元线性回归。该术语不同于多元线性回归，其中预测了多个相关因变量，而不是单个标量变量。 在线性回归中，使用线性预测函数对关系进行建模，其中未知模型参数是根据数据估计的。...这种模型称为线性模型。最常见的是，给定解释变量（或预测变量）的值的响应的条件均值被假定为这些值的仿射函数 ; 不太常见的是，使用条件中值或一些其他分位数。
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