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Lipschitz连续

Lipschitz（利普希茨）连续定义：有函数f(x)，如果存在一个常量K，使得对f(x)定义域上（可为实数也可以为复数）的任意两个值满足如下条件：??...那么称函数f(x)满足Lipschitz连续条件，并称K为f(x)的Lipschitz常数。 Lipschitz连续比一致连续要强。它限制了函数的局部变动幅度不能超过某常量。

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【知识】什么是ρ-Lipschitz连续性？有什么作用？

什么是 ρ-Lipschitz 在数学中，ρ-Lipschitz 是描述函数平滑性的一种条件，属于Lipschitz 连续性的概念。...ρ 是 Lipschitz 常数，它描述了函数的“最大变化速率”。直观理解 Lipschitz 连续性表示函数的变化是“受控”的。...ρ-Lipschitz 连续性用于限制神经网络的权重变化，防止过大的局部变化（例如 Lipschitz 正则化）。...光滑性与 Lipschitz：假设梯度是 Lipschitz 连续的（梯度变化率受限），可以推导出优化的最优收敛速率。...例如，凸优化理论要求损失函数满足 ρ\rhoρ-Lipschitz 条件。学习率调整 Lipschitz 连续性为调整学习率提供依据。

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条条大路通罗马LS-GAN：把GAN建立在Lipschitz密度上

我们证明了，WGAN在对f-函数做出Lipschitz连续的约束后，其实也是将生成样本的密度假设为了Lipschiz 密度。这点上，和LS-GAN是一致的！...两者都是建立在Lipschitz密度基础上的生成对抗网络。好了，这样我们就给出了WGAN分析梯度消失时候，缺失的哪个定量分析了。...有了上面的准备，我们先把LS-GAN要建模的样本分布限定在Lipschitz 密度上，即如下的一个假设： ? 那么什么是Lipschitz密度了？...现在，我们把LS-GAN限定在Lipschitz密度上，同时限制住L-函数的建模能力到Lipschitz连续的函数类上，从而证明了LS-GAN得到的生成样本密度与真实密度的一致性。...也就是说，这个对f-函数的Lipschitz连续性的约束，完全是“技术”上的考虑，没有太多物理意义上的考量。

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WGAN最新进展：从weight clipping到gradient penalty，更加先进的Lipschitz限制手法

其实，WGAN的作者Martin Arjovsky不久后就在reddit上表示他也意识到了这个问题，认为关键在于原设计中Lipschitz限制的施加方式不对，并在新论文中提出了相应的改进方案：论文：[...Lipschitz限制则体现为，在整个样本空间 ? 上，要求判别器函数D(x)梯度的Lp-norm不大于一个有限的常数K： ?...通过在训练过程中保证判别器的所有参数有界，就保证了判别器不能对两个略微不同的样本给出天差地别的分数值，从而间接实现了Lipschitz限制。...前面提到，Lipschitz限制是要求判别器的梯度不超过K，那我们何不直接设置一个额外的loss项来体现这一点呢？比如说： ?...所以，论文作者就非常机智地提出，我们其实没必要在整个样本空间上施加Lipschitz限制，只要重点抓住生成样本集中区域、真实样本集中区域以及夹在它们中间的区域就行了。

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如何评估神经网络的鲁棒性？一种通用方法：CLEVER

（Lipschitz连续和梯度范数关系）：令是一个凸有界闭集，并且令是一个在包含区域的开集中连续可微函数。...如果是一个有Lipschitz常数的Lipschitz函数，则对于任意，以下不等式成立其中，是的梯度，并且有，。证明：对于给定任意的和，令表示的是指向的单位向量，其中有。...证明：根据引理1可知，假定是一个有Lipschitz常数的Lipschitz连续的函数，则有令和，可以得到其中可以将上面公式化简为以下形式当时，此时对抗样本被发现。根据上公式，的下界为。...换句话说，在附近的函数值，即可以由、和Lipschitz常数所限定。当减小到时，则此时会发现一个对抗样本，的最小变化为。...注意：是包含交叉项函数的Lipschitz常数，进而可以称为交叉Lipschitz常数。无目标攻击的形式化保证）：令是函数在点处的局部Lipschtiz常数，的取值范围为且。

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【Transformer】新型ViTGAN性能比肩基于CNN的GAN

在判别器中，研究者重新审视了自注意力的 Lipschitz 性质，在此基础上他们设计了一种加强了 Lipschitz 连续性的谱归一化。...增强 Transformer 判别器的 Lipschitz 性质。在 GAN 判别器中，Lipschitz 连续性发挥着重要的作用。...其中，尤其值得关注的是 ICML 2019 论文《Lipschitz generative adversarial nets》，该研究证明 Lipschitz 判别器能确保存在最优的判别函数以及唯一的纳什均衡...但是，ICML 2021 的一篇论文《The lipschitz constant of self-attention》表明标准点积自注意力层的 Lipschitz 常数可以是无界的，这就会破坏 ViT...中的 Lipschitz 连续性。

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清华大学出品：罚梯度范数提高深度学习模型泛化性

L i p s c h i t z \mathrm{Lipschitz}Lipschitz连续是对深度学习进行理论分析中非常重要且常见的数学工具，该论文就是以神经网络损失函数是 L i p s c h...i t z 是\mathrm{Lipschitz}是Lipschitz连续为出发点进行数学推导。

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非凸随机Bregman近端梯度法及其深度学习应用

非凸随机Bregman近端梯度法及其在深度学习中的应用摘要最小化非凸复合目标函数的随机梯度方法通常依赖于可微分部分的Lipschitz平滑性，但该假设在二次逆问题和神经网络训练等重要问题类别中失效，导致算法在理论和实践中的不稳定性...SBPG使用Bregman邻近度量替代SGD中的二次近似，提供了更好的近似模型，可处理非凸目标中的非Lipschitz梯度。建立了原始SBPG的收敛特性，证明其在非凸设置下达到最优样本复杂度。...关键词随机优化 · Bregman散度 · 非凸优化 · 深度学习 · 近端梯度法1 引言传统随机梯度下降(SGD)方法在处理非Lipschitz梯度的非凸问题时存在局限性。...4 结论SBPG方法为处理非Lipschitz平滑问题提供了有效框架，其动量扩展MSBPG在深度学习任务中展现出作为通用优化器的潜力。未来工作将探索更多Bregman散度的选择及其在不同架构中的应用。

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蒙特利尔大学研究者改进Wasserstein GAN，极大提高GAN训练稳定性

研究者们发现失败的案例通常是由在WGAN中使用权重剪枝来对critic实施Lipschitz约束导致的。...在本片论文中，研究者们提出了一种替代权重剪枝实施Lipschitz约束的方法：惩罚critic对输入的梯度。该方法收敛速度更快，并能够生成比权重剪枝的WGAN更高质量的样本。...WGAN的一个问题是如何高效地在critic上应用Lipschitz约束，Arjovsky提出了权重剪枝的方法。但权重剪枝会导致最优化困难。...因此，通过权重剪枝来实现k-Lipschitz约束将会导致critic偏向更简单的函数。如下图所示，在小型数据集上，权重剪枝不能捕捉到数据分布的高阶矩。 ?...由于在WGAN中使用权重剪枝可能会导致不良结果，研究者考虑在训练目标上使用Lipschitz约束的一种替代方法：一个可微的函数是1-Lipschitz，当且仅当它的梯度具有小于或等于1的范数时。

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：撩一撩 Improved WGAN《多图慎入》

这里提到Lipschitz函数， Lipschitz函数就是满足Lipschitz连续的函数族，Lipschitz连续就是下面这个公式了，看公式形式很简单吧，1-Lipschitz就是当K=1的时候。...这样做的目的是为了保证D中的函数能够达到Lipschitz连续这个条件。参数的取值依据网络结构而定。 ? 2.3 这里说的是WGAN中最优化D网络的一个性质，或者说是结论。...这里是paper的核心，替代weightscipping的办法就是梯度惩罚，为了让D网络满足Lipschitz连续的条件，这里选择1阶，方法是将梯度的模限制在小于1的范围内，即惩罚。...这里说了之所以要这么做，是作者说让D网络满足Lipschitz连续是intractable（很难实现的），所以提出了straight lines（更直接）的方法，真实数据和生成数据的和交给D网络来训练，

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蒙特利尔大学研究者改进Wasserstein GAN，极大提高GAN训练稳定性

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Transformer也能生成图像，新型ViTGAN性能比肩基于CNN的GAN

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LS-GAN论文+tensorflow实现

作者的中文介绍文章：条条大路通罗马LS-GAN：把GAN建立在Lipschitz密度上作者代码： https://github.com/guojunq/lsgan/ tensorflow代码：...Loss-Sensitive Generative Adversarial Networks on Lipschitz Densities https://arxiv.org/abs/1701.06264

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使用Pytorch实现频谱归一化生成对抗网络(SN-GAN)

1-Lipschitz Contiunity 1- lipschitz函数是斜率的绝对值以1为界的函数。这意味着对于任意两个输入x和y，函数输出之间的差不超过输入之间的差。...数学上函数f是1-Lipschitz，如果对于f定义域内的所有x和y，以下不等式成立: |f(x) — f(y)| <= |x — y| 在生成对抗网络(GANs)中强制Lipschitz连续性是一种用于稳定训练和防止与传统...在GAN中实现Lipschitz连续性的主要方法是通过使用Lipschitz约束或正则化，一种常用的方法是Wasserstein GAN (WGAN)。...为了加强Lipschitz连续性，WGAN增加了一个约束，即鉴别器函数应该是Lipschitz连续的，这意味着函数的梯度不应该增长得太大。...WGAN的梯度惩罚: WGAN的一种变体，称为WGAN-GP，它使用梯度惩罚而不是权值裁剪来强制Lipschitz约束。

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GAN的统一架构与WGAN

Lipschitz Function限制条件的作用是：一方面给D(x)加一些控制，不让它任意变大变小，否则都变成无穷值就没有意义了；另一方面限制D(x)的增长速度，提供足够的梯度保证，如下图： ?...那么问题来了，如何保证D(x)满足Lipschitz Function限制条件呢？...gradient penalty 之前Lipschitz Function限制条件通过weight clipping解决，这里借助Lipschitz Function的梯度小于等于1的条件，增加过大梯度的惩罚项

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深度 | 最优传输理论你理解了，传说中的推土机距离重新了解一下

其中 L 是 Lipschitz 连续函数的集合： ? Wasserstein 距离的对偶表达具有非常直观的解释。函数 f 具有非线性特征映射，最大限度地增强了两个分布的样本之间的差异。...Lipschitz 约束的作用是阻止 f 任意扩大这些差异。该约束保证了如果两个输入图像相似，则 f 的输出也相似。在前面的例子中，发型的微小差异不应该对男性/女性图谱产生巨大影响。...最后要做的是在我们的学习算法中强制执行 Lipschitz 约束。在原始的 GAN 论文中，如果权重大于预设常数，则要重新修正它们。...Wasserstein 距离的对偶形式关键取决于在所有可能的 Lipschitz 连续函数下使用最优非线性特征映射 f 这一事实。约束的使用造成了巨大差异。...这种约束极大地限制了唯一的 Lipschitz 约束，并且会导致完全不同的散度。从图像到实数的 Lipschitz 函数集的灵活性令人难以置信，且不会引起任何相关的归纳偏置。

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GAN最新研究进展与提高其性能的技术

Lipschitz连续性 Lipschitz连续函数的变化速度是有限的。对于Lipschitz连续的函数，函数图的斜率（对于任何点对）的绝对值不能大于实值K。...这些函数也称为K-Lipschitz连续。在GAN中需要Lipschitz连续性，因为它们限制了鉴别器的梯度，从而基本上防止了爆炸梯度问题。...此外，作者认为削减鉴别器的权重是确保1-Lipschitz约束的糟糕的方法。 ?...此外，保持1-Lipschitz连续性，如在原始WGAN实现中那样。 ? 与最初的WGAN-GP论文一样，梯度惩罚作为正规处理器添加。...这基本上确保了鉴别器是K-Lipschitz连续的。像SAGAN这样的一些实现也使用了Generator上的频谱归一化。还指出该方法在计算上比梯度惩罚更有效。

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这份攻略帮你「稳住」反复无常的 GAN

LiPSCHITZ 连续性一个 Lipschitz 连续函数的变化速度是有限的。对具备 Lipschitz 连续性的函数来说，函数曲线上任一点的斜率的绝对值不能超过实数 K。...这样的函数也被称为 K-Lipschitz 连续函数。 Lipschitz 连续性是 GAN 所期望满足的，因为它们会限制判别器的梯度，从而从根本上避免了梯度爆炸问题。...这要求判别器满足「1-Lipschitz」，我们是通过裁剪判别器的权重来保证这一点的。...此外，作者声称，权值裁剪是一种糟糕的确保 1-Lipschitz 约束的方法。 ?...谱归一化谱归一化是一种通常在判别器中使用的权值归一化技术，它能够优化训练过程（使训练过程更稳定），从本质上保证了判别器满足「K-Lipschitz 连续性」。

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#数值分析读书笔记（4）求非线性方程的数值求解

的定义域中,才能使迭代不中断收敛性: 要求迭代收敛收敛率: 要求收敛速度尽可能高接下来我们来研究一下不动点的存在性以及迭代法的全局收敛性关于不动点的存在性,给出一个Lipschitz条件,且给出不动点存在与唯一性定理...Lipschitz条件:存在Lipschitz常数 ? ,使得对任意 ? 有 ? ** 则不动点迭代函数 ? 在 ? 上存在唯一的不动点 ?...满足上述的定义域条件以及Lipschitz条件,则对任意的 ? , 由不动点迭代格式产生的序列 ? 必收敛于 ? 的不动点 ? ,并有误差估计 ? ?

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CV圈对决：谷歌提出ViTGAN，用视觉Transformer训练GAN

利普希茨连续（Lipschitz continuity）在GAN鉴别器中很重要，首先它作为WGAN中近似Wasserstein距离的一个条件而引入注意力，后来在其他GAN设置中被证实超出了 Wasserstein...特别是，证明了Lipschitz鉴别器保证了最优鉴别函数的存在以及唯一纳什均衡的存在。...然而，最近的一项工作表明，标准dot product self-attention（即Equation 5）层的Lipschitz常数可以是无界的，使Lipschitz连续在ViTs中被违反。

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Lipschitz连续

【知识】什么是ρ-Lipschitz连续性？有什么作用？

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