Lipschitz（利普希茨）连续定义： 有函数f(x)，如果存在一个常量K，使得对f(x)定义域上（可为实数也可以为复数）的任意两个值满足如下条件：??...那么称函数f(x)满足Lipschitz连续条件，并称K为f(x)的Lipschitz常数。 Lipschitz连续比一致连续要强。它限制了函数的局部变动幅度不能超过某常量。
我们证明了，WGAN在对f-函数做出Lipschitz连续的约束后，其实也是将生成样本的密度假设为了Lipschiz 密度。这点上，和LS-GAN是一致的！...两者都是建立在Lipschitz密度基础上的生成对抗网络。 好了，这样我们就给出了WGAN分析梯度消失时候，缺失的哪个定量分析了。...有了上面的准备，我们先把LS-GAN要建模的样本分布限定在Lipschitz 密度上，即如下的一个假设： ? 那么什么是Lipschitz密度了？...现在，我们把LS-GAN限定在Lipschitz密度上，同时限制住L-函数的建模能力到Lipschitz连续的函数类上，从而证明了LS-GAN得到的生成样本密度与真实密度的一致性。...也就是说，这个对f-函数的Lipschitz连续性的约束，完全是“技术”上的考虑，没有太多物理意义上的考量。
其实，WGAN的作者Martin Arjovsky不久后就在reddit上表示他也意识到了这个问题，认为关键在于原设计中Lipschitz限制的施加方式不对，并在新论文中提出了相应的改进方案： 论文：[...Lipschitz限制则体现为，在整个样本空间 ? 上，要求判别器函数D(x)梯度的Lp-norm不大于一个有限的常数K： ?...通过在训练过程中保证判别器的所有参数有界，就保证了判别器不能对两个略微不同的样本给出天差地别的分数值，从而间接实现了Lipschitz限制。...前面提到，Lipschitz限制是要求判别器的梯度不超过K，那我们何不直接设置一个额外的loss项来体现这一点呢？比如说： ?...所以，论文作者就非常机智地提出，我们其实没必要在整个样本空间上施加Lipschitz限制，只要重点抓住生成样本集中区域、真实样本集中区域以及夹在它们中间的区域就行了。
（Lipschitz连续和梯度范数关系）：令是一个凸有界闭集，并且令是一个在包含区域的开集中连续可微函数。...如果是一个有Lipschitz常数的Lipschitz函数，则对于任意，以下不等式成立 其中，是的梯度，并且有，。 证明：对于给定任意的和，令表示的是指向的单位向量，其中有。...证明：根据引理1可知，假定是一个有Lipschitz常数的Lipschitz连续的函数，则有 令和，可以得到 其中可以将上面公式化简为以下形式 当时，此时对抗样本被发现。根据上公式，的下界为。...换句话说，在附近的函数值，即可以由、和Lipschitz常数所限定。当减小到时，则此时会发现一个对抗样本，的最小变化为。...注意：是包含交叉项函数的Lipschitz常数，进而可以称为交叉Lipschitz常数。 无目标攻击的形式化保证）：令是函数在点处的局部Lipschtiz常数，的取值范围为且。
在判别器中，研究者重新审视了自注意力的 Lipschitz 性质，在此基础上他们设计了一种加强了 Lipschitz 连续性的谱归一化。...增强 Transformer 判别器的 Lipschitz 性质。在 GAN 判别器中，Lipschitz 连续性发挥着重要的作用。...其中，尤其值得关注的是 ICML 2019 论文《Lipschitz generative adversarial nets》，该研究证明 Lipschitz 判别器能确保存在最优的判别函数以及唯一的纳什均衡...但是，ICML 2021 的一篇论文《The lipschitz constant of self-attention》表明标准点积自注意力层的 Lipschitz 常数可以是无界的，这就会破坏 ViT...中的 Lipschitz 连续性。
L i p s c h i t z \mathrm{Lipschitz}Lipschitz连续是对深度学习进行理论分析中非常重要且常见的数学工具，该论文就是以神经网络损失函数是 L i p s c h...i t z 是\mathrm{Lipschitz}是Lipschitz连续为出发点进行数学推导。
研究者们发现失败的案例通常是由在WGAN中使用权重剪枝来对critic实施Lipschitz约束导致的。...在本片论文中，研究者们提出了一种替代权重剪枝实施Lipschitz约束的方法：惩罚critic对输入的梯度。该方法收敛速度更快，并能够生成比权重剪枝的WGAN更高质量的样本。...WGAN的一个问题是如何高效地在critic上应用Lipschitz约束，Arjovsky提出了权重剪枝的方法。但权重剪枝会导致最优化困难。...因此，通过权重剪枝来实现k-Lipschitz约束将会导致critic偏向更简单的函数。如下图所示，在小型数据集上，权重剪枝不能捕捉到数据分布的高阶矩。 ?...由于在WGAN中使用权重剪枝可能会导致不良结果，研究者考虑在训练目标上使用Lipschitz约束的一种替代方法：一个可微的函数是1-Lipschitz，当且仅当它的梯度具有小于或等于1的范数时。
作者的中文介绍文章： 条条大路通罗马LS-GAN：把GAN建立在Lipschitz密度上 作者代码： https://github.com/guojunq/lsgan/ tensorflow代码：...Loss-Sensitive Generative Adversarial Networks on Lipschitz Densities https://arxiv.org/abs/1701.06264
这里提到Lipschitz函数， Lipschitz函数就是满足Lipschitz连续的函数族，Lipschitz连续就是下面这个公式了，看公式形式很简单吧，1-Lipschitz就是当K=1的时候。...这样做的目的是为了保证D中的函数能够达到Lipschitz连续这个条件。参数的取值依据网络结构而定。 ? 2.3 这里说的是WGAN中最优化D网络的一个性质，或者说是结论。...这里是paper的核心，替代weightscipping的办法就是梯度惩罚，为了让D网络满足Lipschitz连续的条件，这里选择1阶，方法是将梯度的模限制在小于1的范围内，即惩罚。...这里说了之所以要这么做，是作者说让D网络满足Lipschitz连续是intractable（很难实现的），所以提出了straight lines（更直接）的方法，真实数据和生成数据的和交给D网络来训练，
Lipschitz Function限制条件的作用是：一方面给D(x)加一些控制，不让它任意变大变小，否则都变成无穷值就没有意义了；另一方面限制D(x)的增长速度，提供足够的梯度保证，如下图： ?...那么问题来了，如何保证D(x)满足Lipschitz Function限制条件呢？...gradient penalty 之前Lipschitz Function限制条件通过weight clipping解决，这里借助Lipschitz Function的梯度小于等于1的条件，增加过大梯度的惩罚项
1-Lipschitz Contiunity 1- lipschitz函数是斜率的绝对值以1为界的函数。这意味着对于任意两个输入x和y，函数输出之间的差不超过输入之间的差。...数学上函数f是1-Lipschitz，如果对于f定义域内的所有x和y，以下不等式成立: |f(x) — f(y)| <= |x — y| 在生成对抗网络(GANs)中强制Lipschitz连续性是一种用于稳定训练和防止与传统...在GAN中实现Lipschitz连续性的主要方法是通过使用Lipschitz约束或正则化，一种常用的方法是Wasserstein GAN (WGAN)。...为了加强Lipschitz连续性，WGAN增加了一个约束，即鉴别器函数应该是Lipschitz连续的，这意味着函数的梯度不应该增长得太大。...WGAN的梯度惩罚: WGAN的一种变体，称为WGAN-GP，它使用梯度惩罚而不是权值裁剪来强制Lipschitz约束。
其中 L 是 Lipschitz 连续函数的集合： ? Wasserstein 距离的对偶表达具有非常直观的解释。函数 f 具有非线性特征映射，最大限度地增强了两个分布的样本之间的差异。...Lipschitz 约束的作用是阻止 f 任意扩大这些差异。该约束保证了如果两个输入图像相似，则 f 的输出也相似。在前面的例子中，发型的微小差异不应该对男性/女性图谱产生巨大影响。...最后要做的是在我们的学习算法中强制执行 Lipschitz 约束。在原始的 GAN 论文中，如果权重大于预设常数，则要重新修正它们。...Wasserstein 距离的对偶形式关键取决于在所有可能的 Lipschitz 连续函数下使用最优非线性特征映射 f 这一事实。约束的使用造成了巨大差异。...这种约束极大地限制了唯一的 Lipschitz 约束，并且会导致完全不同的散度。从图像到实数的 Lipschitz 函数集的灵活性令人难以置信，且不会引起任何相关的归纳偏置。
Lipschitz连续性 Lipschitz连续函数的变化速度是有限的。对于Lipschitz连续的函数，函数图的斜率（对于任何点对）的绝对值不能大于实值K。...这些函数也称为K-Lipschitz连续。 在GAN中需要Lipschitz连续性，因为它们限制了鉴别器的梯度，从而基本上防止了爆炸梯度问题。...此外，作者认为削减鉴别器的权重是确保1-Lipschitz约束的糟糕的方法。 ?...此外，保持1-Lipschitz连续性，如在原始WGAN实现中那样。 ? 与最初的WGAN-GP论文一样，梯度惩罚作为正规处理器添加。...这基本上确保了鉴别器是K-Lipschitz连续的。 像SAGAN这样的一些实现也使用了Generator上的频谱归一化。还指出该方法在计算上比梯度惩罚更有效。
连续性，为了满足这个条件，作者使用了将权重限制到一个范围的方式强制满足lipschitz连续性，但是这也造成了隐患，接下来会详细说。...注：Lipschitz限制是在样本空间中，要求判别器函数D(x)梯度值不大于一个有限的常数K，通过权重值限制的方式保证了权重参数的有界性，间接限制了其梯度信息。...为了解决这个问题，并且找一个合适的方式满足lipschitz连续性条件，作者提出了使用梯度惩罚（gradient penalty）的方式以满足此连续性条件，其结果如上图右边所示。...所以WGAN-GP的贡献是： ◆ 提出了一种新的lipschitz连续性限制手法—梯度惩罚，解决了训练梯度消失梯度爆炸的问题。...即他们成正比，这时候连lipschitz连续性条件也不需要了， 但是有一个问题，当m1和m2很接近是，条件1是趋于无穷的，不可能再忽略，于是，boundary（限制）就来了， ? ?
LiPSCHITZ 连续性 一个 Lipschitz 连续函数的变化速度是有限的。对具备 Lipschitz 连续性的函数来说，函数曲线上任一点的斜率的绝对值不能超过实数 K。...这样的函数也被称为 K-Lipschitz 连续函数。 Lipschitz 连续性是 GAN 所期望满足的，因为它们会限制判别器的梯度，从而从根本上避免了梯度爆炸问题。...这要求判别器满足「1-Lipschitz」，我们是通过裁剪判别器的权重来保证这一点的。...此外，作者声称，权值裁剪是一种糟糕的确保 1-Lipschitz 约束的方法。 ?...谱归一化 谱归一化是一种通常在判别器中使用的权值归一化技术，它能够优化训练过程（使训练过程更稳定），从本质上保证了判别器满足「K-Lipschitz 连续性」。
的定义域中,才能使迭代不中断 收敛性: 要求迭代收敛 收敛率: 要求收敛速度尽可能高 接下来我们来研究一下不动点的存在性以及迭代法的全局收敛性 关于不动点的存在性,给出一个Lipschitz条件,且给出不动点存在与唯一性定理...Lipschitz条件:存在Lipschitz常数 ? ,使得对任意 ? 有 ? ** 则不动点迭代函数 ? 在 ? 上存在唯一的不动点 ?...满足上述的定义域条件以及Lipschitz条件,则对任意的 ? , 由不动点迭代格式产生的序列 ? 必收敛于 ? 的不动点 ? ,并有误差估计 ? ?
利普希茨连续（Lipschitz continuity）在GAN鉴别器中很重要，首先它作为WGAN中近似Wasserstein距离的一个条件而引入注意力，后来在其他GAN设置中被证实超出了 Wasserstein...特别是，证明了Lipschitz鉴别器保证了最优鉴别函数的存在以及唯一纳什均衡的存在。...然而，最近的一项工作表明，标准dot product self-attention（即Equation 5）层的Lipschitz常数可以是无界的，使Lipschitz连续在ViTs中被违反。
其中 4.1 提到了强制 1-Lipschitz 等价于假设一个有界梯度，这意味着 Wasserstein 距离可以用 MMC 公式来近似估算；4.2 描述了在 GAN 中使用 MMC 的好处；4.3...研究者还展示了，使用 Lipschitz-1 判别器的大多数 GAN（谱归一化 HingeGAN、WGAN、WGAN-GP 等）都可被表示为 MMC，因为假定 1-Lipschitz 等效于假定有界梯度...假定 Lipschitz-1 判别器一直被看作实现优秀 GAN 的关键因素，但它可能需要一个能够最大化间隔的判别器和相对判别器（Relativistic Discriminator）。...最后，对于为什么梯度惩罚或 1-Lipschitz 对不估计 Wasserstein 距离的 GAN 有效，该研究也提供了明确的理论依据，更多细节可参考原论文。
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