秒懂“线性回归预测”

线性回归是机器学习中的概念，线性回归预测算法一般用以解决“使用已知样本对未知公式参数的估计”类问题。

举个栗子：

商家卖鞋，可利用历史上每个季度鞋的定价x与销量y，来预估“定价与销量的关系”（y=ax+b），以辅助对鞋子进行最佳定价。

一、几个基本概念

回归(regression)：用已知样本对未知公式参数的估计。Y=f(X1, X2, X3)，这里回归函数f(X1, X2, X3)可能是任意函数。

线性回归(linear regression)：回归的一种，回归函数是一次函数，例如：

Y=f(X1, X2, X3)=aX1 + bX2 + cX3 + d

其中X1，X2，X3是训练样本集中样本的各个维度(feature)，a，b，c，d是模型的未知参数。

逻辑回归(logistic regression)：将Y归一化到[0, 1]区间。

总而言之，逻辑回归是线性回归的一种，线性回归是回归的一种。

二、线性回归模型经常是有效的

线性回归有什么用？

答：线性回归的预测模型虽然是一元线性方程，但现实中很多应用场景符合这个模型。

例如例子中商品的定价x与商品的销量y之间的关系。一般来说价格越贵则销量越低，价格越便宜则销量越高，于是就能够用y=ax+b这个评估模型来最大化商家的收益：收益=定价*销量=x*y=x*(ax+b)

什么场景适用于线性回归？

答：很多应用场景不能够使用线性回归模型来进行预测，例如，月份和平均气温，平均气温并不随着月份的增长呈线性增长或下降的趋势。它常用于：

（1）预测或分类，用于分类问题时，需要设定阈值区间，并提前知晓阈值区间与类别的对应关系

（2）线性问题，可以有多个维度(feature)

三、如何求解线性回归中的维度参数？

在已知样本集set的时候，如果根据样本集得到Y=f(X1,X2,X3,…)=aX1+bX2+cX3+…中的未知参数a，b，c呢？

这得先介绍最小二乘法，以及梯度下降法。

什么是最小二乘法？

答：最小二乘法适用于任意多维度的线性回归参数求解，它可求解出一组最优a，b，c解，使得对于样本集set中的每一个样本data，用Y=f(X1,X2,X3,…)来预测样本，预测值与实际值的方差最小。

画外音：方差是我们常见的估值函数(cost function)，用来评估回归出来的预测函数效果。

什么是梯度下降法？

答：最小二乘法实际上只定义了估值函数是方差，真正求解a，b，c的方法是梯度下降法，这是一个枚举型的求解算法，其算法步骤如下：

（1）使用随机的a0, b0, c0作为初始值

（2）分别求解最优a, b, c…，对于每个维度参数的求解，步骤为（以a为例）：

2.1）设定a范围的最大值与最小值

2.2）设定a计算的梯度步长（这就是它叫梯度下降法的原因）

2.3）固定其他维度参数

2.4）计算a的所有取值中，使得估值函数最小的那个a即为所求

数学上可以证明：

（1）上述算法是可以收敛的（显而易见）

（2）分别求出a，b，c的最优值，组合起来就是整体的最优值（没这么明显了），这个结论是很重要的，假设样本个数为n，计算a，b，c的算法复杂度都是线性的O(m)，这个结论让算法的整体复杂度是n*O(m) +n*O(m) + n*O(m)，而不是[n*O(m) ]*[n*O(m)]*[n*O(m)]的关系。

画外音：计算机非常适合干这个事情，确定范围和梯度后，这是一个线性复杂度的算法。

四、再来个栗子说明

已知过去4个季度销量与价格的数据样本集为：

价格x为10时，销量y为80

价格x为20时，销量y为70

价格x为30时，销量y为60

价格x为40时，销量y为65

假设销量y与价格x是线性关系：

y=ax +b

假设a的范围为[-2, 2]，a的梯度为1

假设b的范围为[80, 120]，b的梯度为10

画外音：计算机计算的时候，范围会很大，梯度精度会很细。

求解最优a和b的过程为：

（1）设a0=-2，b0=80，从最边缘开始求解

（2.1）先求最优a，固定b=80不动，a从-2到2梯度递增，求最优a的解

可以看到，a=-1时方差最小，故a=-1是最优解。

（2.2）再求最优b，固定2.1求出的最优a=-1，b从80到120梯度递增，求最优b的解

可以看到，b=90时方差最小，故b=90是最优解。

（3）得到最优解a=-1，b=90，于是得到定价与销量的关系是：y=-x+90

（4）最终得到

收益=定价*销量=x*y=x*(-x+90)

于是，当价格定在45元时，整体收益能够最大化。

五、总结

逻辑回归是线性回归的一种，线性回归是回归的一种

线性回归可以用在预测或分类，多维度(feature)线性问题求解上

可以用最小二乘法，梯度下降法求解线性预测函数的系数

梯度下降法的核心步骤是：设置系数范围，设定系数梯度，固定其他系数，对某一个系数穷举求方差最小最优解

希望这一分钟，对线性回归预测有了一点点了解。

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