人工智能数学基础：了解函数极限的定义

大家好！我是巫老师，今天跟大家分享函数的极限，希望对大家编程内功有所帮助。我们将会不断的推出java 、C/C++、Python、Linux、系统运维等有关编程技术的视频，敬请期待！

函数的极限是人工智能入门的基础，了解函数的极限将会让你更好的理解碰撞检测算法是如何检测避免碰撞的！函数的极限的概念是经历了多个世纪的哲学家，数学家不断的总结和描述，知道18世纪中叶，才被德国数学家威尔斯特拉斯给出了严格的定义！同样极限的定义也是高等数学开篇中最能让人回味的一章！下面请大家观看视频！希望大家能进入人工智能的数学殿堂！好好感受数学如何在驱动着这个世界！

引言

如果你想更高层次的使用编程语言完成人脸识别、语音识别、人工智能、光线追踪、碰撞检测等算法，那么少不了数学知识的储备！

第一章：函数的极限1、课程内容和目标

此次教学内容：函数的极限。

此次教学目标：理解函数极限的思维方式和定义内涵！

“任何事物都有极限，极限是不可以被超越的”。数学领域的“函数”也是有极限的，该极限也是不可以超越的。

2、函数极限的直观理解

极限的最直观感受理解：

当xx，x≠x时，f(x)A或f(x)；为什么f(x)A或f(x)呢？如下两个函数式所画成的图形！

·

对于分段函数当x1时，F(x)的函数值是1.2！

对于一次函数F(x) =x，x∈（

其实函数的极限值是一个趋近值而非具体值，和在该点的函数值无关！

根据上表格做出直角坐标系！再举一个例子：假设一个函数f(x)=x，如下表，当x从0.9趋向于1的时候，函数f(x)的极限值是多少？也许，你会认为x=1时，把x带入函数f(x)时，则函数f(x)的值等于1（f(1)=1），所以函数f(x)在x=1时,极限值是1！

函数的极限值是一个趋近值而非具体值，和在该点的函数值无关！

我们从上表格中得知，当x=0.9时，f(x)=0.9；当x=0.99……，f(x)=0.99……；所以可以从上表的数字变化趋势可以得出，当x->1（“->：趋向”）时，f(x)的值也趋向于1，但是否是1？不知道，只是有趋向于1的趋势，所以我们把x->1时，f(x)的极限值趋向是1。数学建模表示法为：

我们再一次举一个例子说明“函数的极限值是一个趋近值而非具体值，和在该点的函数值无关”这种概念！

同样，我们根据该函数式代入一些数据，看看数据变化，是否能找出规律？

我们画一个直角坐标系，直观反映x和f(x)的关系！

根据以上的分段函数，当x->1的时候，通过以上的表格可以看出来这个趋向值应该是1，我们就认为这个函数他的极限趋向值就是1，所以函数的极限值就是1。但是当x=1时，函数值却是2。所以函数极限值是一个趋向值，不是函数的实际值。极限值不是函数值！！

4、函数极限定义1、数字连续性

整数，用字母表示为Z，并不是连续性的，是间断性的，比如在1和2之间有无数个数字，例如1.01、1.02、1.03、1.04……、2，由此可以得知整数Z是间断的，并不能表示像1.01、1.02这样的小数。

只有实数，用字母表示为R，可以表示自然界所有的数，例如正整数（5）、负整数（-3）、小数（3.53）等具有描述自然界一切数的能力，所以实数R具有表示一切连续的数的能力。实数可以表示从1和2之间所有连续的数。

2、无限逼近思想

“无限的趋近”，潜在意思是在实数R的运动范围，因为只有实数R才能保证数字的连续性和完整性，才能连续的、完整的无限逼近某个数！举一个例子从数字1趋近到2，那么在1到2的过程，会经历无数个数（1.01、1.02……）等！我们在生活中从1秒到2秒也是经历了无数个连续数！所以我们的空间和时间都是连续的！

3、数学语言建模

设M是实数R（M∈R）,M>0，这句数学语言怎么阐述成恰当的人类认知语言呢?这句话的正确理解是：有一个实数M和存在一个距离，这是一个动态的、

可变的不确定的一个距离。所以将人类认知的语言转换成数学语言的过程叫做数学建模。

4、邻域的数学建模

邻域：在生活中表示某个范围，在数学上表示某点在X轴左右两边或Y轴上下两边的一个范围距离

怎么用数学建模表示这个人类语言思维模式呢？

距离用数学建模表达为：ε>0；设在X轴上某点为：X

X的邻域集合表示为:（X-ε, X+ε）

图表表示法为：

绝对值表示法为：X-X X-ε

5、分解理解极限定义

迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N定义）。

极限的最直观感受理解：

当xx，x≠x时，f(x)A或f(x)；但是这种描述极限方式不是数学的严格定义，因为“”这种符号在数学上不是真正意义的运算逻辑符号！

我们知道，函数的极限值是一个无限的趋近值，不是具体的函数值，那么如何用数学语言去实现一个数学建模从而描述一个无限趋近的概念呢？

经多达一个世纪对极限的观察发现：

当x-> x时，会导致f(x)->A；所以f(x)-A存在一个距离ε>0时，x-x也会存在一个距离δ>0，当ε距离越大，δ距离也会越大；当ε距离越小，δ距离也会越小；也就是说：f(x)与A距离要多靠近有多靠近，那么x与x距离要多靠近有多靠近；f(x)与A距离要多远就有多远，那么x与x距离要多远就有多远；

推导出极限的“ε－δ”定义数学模型定义：

对于任意的ε>0，存在δ>0, 0

“任意”用数学符号∀

“存在”用数学符号∃

∀ε>0，∃δ>0，0

极限的数学表达式：

总结

如果f(x)-A之间存在一个距离ε>0，能找到x-x之间存在的那个δ>0的距离，函数极限值必存在，至于极限值是多少并无关系！

练习：

极限的“ε－δ”定义，设A=1为函数的极限值，f(x)=X-2,假设f(x)的极限存在，那么存在ε>0,使得f(x)-A

f(x)-A X-2-1=X-1

所以当x1时候，f(x)=x-2的极限值是1；

f(x)-A 2-X-4=>-X-2=>(-1)(x+2)=>x+2=>x-1+3≤x-1+3

所以：x-1

因为X-1恒大于，而ε-3中的ε可以变得很小，所以ε-5可能是负数！所以X-1不可能有负数！所以x-1

所以函数f(x)=2-X，当x1时f(x)的极限值不为4！！

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