全新二层神经结构建立，用Python就够了

输入数据

本教程唯一使用的数据库为NumPy。

import numpy as np

激活函数

在隐藏层中会使用tanh激活函数，而在输出层中则会使用sigmod函数。在两种函数的图中都很容易找到信息。下面直接执行函数。

以上为Sigmoid函数。以下为该函数代码：

def sigmoid(x):

    return (1 / (1 + np.exp(-x)))

设定参数

什么是参数和超参数？参数指权值和偏差。超参数会影响参数，并设置在学习过程开始之前。准确无误设置超参数并不容易，需要不断调整数值。超参数包括学习率、迭代次数、校准率等。

想知道如何设置矩阵规模吗？看看下面的答案吧！

这是什么意思呢？例如：

（第0层，即L=0），输入层神经元数量=3

（第1层，即L=1），隐藏层神经元数量=5

（第2层，即L=2），输出层神经元数量=1

希望以上代码都能奏效！现在设置参数。

def setParameters(X, Y, hidden_size):

  np.random.seed(3)

  input_size = X.shape[0] # number of neurons in input layer

  output_size = Y.shape[0] # number of neurons in output layer.

  W1 = np.random.randn(hidden_size, input_size)*np.sqrt(2/input_size)

  b1 = np.zeros((hidden_size, 1))

  W2 = np.random.randn(output_size, hidden_size)*np.sqrt(2/hidden_size)

  b2 = np.zeros((output_size, 1))

  return {'W1': W1, 'W2': W2, 'b1': b1, 'b2': b2}

定义变量W1、b1、W2和b2。变量初始值设为0也无妨。但初始化权值时要格外谨慎。初始值绝不能为0。为什么？若权值初始值为0，函数Z = Wx + b的值恒为0。多层神经网络中，每层的神经元共同作用。所以应该如何设置初始权值呢？本文使用he初始化。

公式

# Python implementation

np.random.randn(output_size, hidden_size)*np.sqrt(2/hidden_size)

除he初始化以外，也可以使用以下方法：

np.random.randn(output_size, hidden_size)*0.01

建议：在参数初始化中，请勿将权值设为0或大数值。

前向传播

前向传播

上图清晰解释了前向传播。在Python中的应用为：

def forwardPropagation(X, params):

  Z1 = np.dot(params['W1'], X)+params['b1']

  A1 = np.tanh(Z1)

  Z2 = np.dot(params['W2'], A1)+params['b2']

  y = sigmoid(Z2)  

  return y, {'Z1': Z1, 'Z2': Z2, 'A1': A1, 'y': y}

为什么要储存 {‘Z1’: Z1, ‘Z2’: Z2, ‘A1’: A1, ‘y’: y}？ 因为在反向传播中会用到这些数值。

成本函数

刚才介绍了前向传播，得到预测值(y)。这个值由成本函数计算得出。下图可以说明：

更新参数

更新参数后找到可能最小化成本的最佳参数，本文不会对此再做探讨。但在上一段提到，如果数值在抛物线右侧，导数（斜率）为正，数值递减，左移接近最小成本值；若数值在抛物线左侧，斜率为负，因此参数会增至预期的最小成本值。

以下为使用的成本函数：

成本函数

此成本函数的Python代码：

def cost(predict, actual):

  m = actual.shape[1]

  cost__ = -np.sum(np.multiply(np.log(predict), actual) + np.multiply((1 - actual), np.log(1 - predict)))/m

  return np.squeeze(cost__)

反向传播

确定成本后，下面返回去求权值和偏差的导数。

def backPropagation(X, Y, params, cache):

  m = X.shape[1]

  dy = cache['y'] - Y

  dW2 = (1 / m) * np.dot(dy, np.transpose(cache['A1']))

  db2 = (1 / m) * np.sum(dy, axis=1, keepdims=True)

  dZ1 = np.dot(np.transpose(params['W2']), dy) * (1-np.power(cache['A1'], 2))

  dW1 = (1 / m) * np.dot(dZ1, np.transpose(X))

  db1 = (1 / m) * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)

  return {"dW1": dW1, "db1": db1, "dW2": dW2, "db2": db2}

def backPropagation(X, Y, params,cache)中的parama和cache是什么？在前向传播中储存数值，就是为了用于反向传播。Params是参数（权值和偏差）。

更新参数

得到参数后，代入以下公式：

公式中alpha (α)是超参数的学习率。在学习开始前需要设置数值。在学习率右侧的数值为导数。alpha和导数已知，可以更新参数。

def updateParameters(gradients, params, learning_rate = 1.2):

    W1 = params['W1'] - learning_rate * gradients['dW1']

    b1 = params['b1'] - learning_rate * gradients['db1']

    W2 = params['W2'] - learning_rate * gradients['dW2']

    b2 = params['b2'] - learning_rate * gradients['db2']

    return {'W1': W1, 'W2': W2, 'b1': b1, 'b2': b2}

循环是关键

需要多次迭代才能找到回归最低成本的参数。现在开始循环！

def fit(X, Y, learning_rate, hidden_size, number_of_iterations = 5000):

  params = setParameters(X, Y, hidden_size)

  cost_ = []

  for j in range(number_of_iterations):

    y, cache = forwardPropagation(X, params)

    costit = cost(y, Y)

    gradients = backPropagation(X, Y, params, cache)

    params = updateParameters(gradients, params, learning_rate)

    cost_.append(costit)

  return params, cost_

Hidden_size指隐藏层中神经元数量。由于在学习开始前设定，它类似于超参数。return params, cost_指找到的最佳参数。cost_为每次迭代预估的成本。

运行代码！

使用sklearn创建数据集。

import sklearn.datasets

X, Y = sklearn.datasets.make_moons(n_samples=500, noise=.2)X, Y = X.T, Y.reshape(1, Y.shape[0])

X为输入值，Y为实际输出值。

params, cost_ = fit(X, Y, 0.3, 5, 5000)

本文中学习率设置为0.3，隐藏层神经元数量为5，迭代次数为5000. 当然也可设置不同数值尝试。

下面画图以说明每次迭代中成本函数的变化。

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(cost_)

结果正确！

first_cost = 0.7383781203733911

last_cost = 0.06791109327547613

完整代码：

import numpy as np

def sigmoid(x):

    return (1 / (1 + np.exp(-x)))

def setParameters(X, Y, hidden_size):

  np.random.seed(3)

  input_size = X.shape[0] # number of neurons in input layer

  output_size = Y.shape[0] # number of neurons in output layer.

  W1 = np.random.randn(hidden_size, input_size)*np.sqrt(2/input_size)

  b1 = np.zeros((hidden_size, 1))

  W2 = np.random.randn(output_size, hidden_size)*np.sqrt(2/hidden_size)

  b2 = np.zeros((output_size, 1))

  return {'W1': W1, 'W2': W2, 'b1': b1, 'b2': b2}

def forwardPropagation(X, params):

  Z1 = np.dot(params['W1'], X)+params['b1']

  A1 = np.tanh(Z1)

  Z2 = np.dot(params['W2'], A1)+params['b2']

  y = sigmoid(Z2)  

  return y, {'Z1': Z1, 'Z2': Z2, 'A1': A1, 'y': y}

def cost(predict, actual):

  m = actual.shape[1]

  cost__ = -np.sum(np.multiply(np.log(predict), actual) + np.multiply((1 - actual), np.log(1 - predict)))/m

  return np.squeeze(cost__)

def backPropagation(X, Y, params, cache):

  m = X.shape[1]

  dy = cache['y'] - Y

  dW2 = (1 / m) * np.dot(dy, np.transpose(cache['A1']))

  db2 = (1 / m) * np.sum(dy, axis=1, keepdims=True)

  dZ1 = np.dot(np.transpose(params['W2']), dy) * (1-np.power(cache['A1'], 2))

  dW1 = (1 / m) * np.dot(dZ1, np.transpose(X))

  db1 = (1 / m) * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)

  return {"dW1": dW1, "db1": db1, "dW2": dW2, "db2": db2}

def updateParameters(gradients, params, learning_rate = 1.2):

    W1 = params['W1'] - learning_rate * gradients['dW1']

    b1 = params['b1'] - learning_rate * gradients['db1']

    W2 = params['W2'] - learning_rate * gradients['dW2']

    b2 = params['b2'] - learning_rate * gradients['db2']

    return {'W1': W1, 'W2': W2, 'b1': b1, 'b2': b2}

 def fit(X, Y, learning_rate, hidden_size, number_of_iterations = 5000):

  params = setParameters(X, Y, hidden_size)

  cost_ = []

  for j in range(number_of_iterations):

    y, cache = forwardPropagation(X, params)

    costit = cost(y, Y)

    gradients = backPropagation(X, Y, params, cache)

    params = updateParameters(gradients, params, learning_rate)

    cost_.append(costit)

  return params, cost_

# Testing the code

import sklearn.datasets

X, Y = sklearn.datasets.make_moons(n_samples=500, noise=.2)

X, Y = X.T, Y.reshape(1, Y.shape[0])

params, cost_ = fit(X, Y, 0.3, 5, 5000)

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(cost_)

编译组： 蒋馨怡、胡昕彤